A principal aplicação do conceito de integral é o cálculo de área. Para tanto, é necessário que calculemos as integrais de forma correta utilizando as regras de integrações. Utilizando tais regras, podemos afirmar que a integral dupla da função

Anexos:

Respostas

respondido por: nivaldojean

Resposta:

somente a alternatina IV esta correta

Explicação passo-a-passo:

respondido por: silvapgs50

Utilizando integral dupla para calcular a área descrita na questão, concluímos que somente a opção IV está correta.

Qual a área da região?

Para calcular a área da região limitada entre os gráficos das duas curvas dadas vamos utilizar o conceito de integral dupla do cálculo diferencial e integral.

Para isso, o integrando que iremos utilizar será a função f(x, y) = x + y + 2 e para determinar os limites de integração vamos analisar o comportamento das curvas.

As curvas podem ser representadas por uma parábola e por uma reta, observe a imagem em anexo. Os gráficos se intersectam para os valores de x = 0 e x = 4, portanto, esses serão os limites da variável x.

Na região limitada pelas curvas, podemos observar que os pontos da reta possuem imagem maior do que os pontos da parábola. Portanto, o limite inferior da variável y será $x^2$ e o limite superior será $4x$ .

Devemos primeiro integrar em relação à variável y, pois os limites de integração dessa variável dependem da variável x. Dessa forma, concluímos que:

$Area = \int_0^4 \int_{x^2}^{4x} x + y + 2 \; dy dx = \int_0^4 -x^3 + 10x^2 + 8x - \dfrac{x^4}{2} \; dx = 1664/15$