Question

Álgebra Linear
Mostrar que são LD os vetores v1,v2 e v3 com v1 e v2 sendo vetores arbitrários de um espaço vetorial e v3= 2v1-v2

Answer 1

Lembramos que 3 vetores v₁, v₂ e v₃ são LD se existem escalares a₁, a₂ e a₃ tais que

a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ = 0

e pelo menos um dos escalares é não nulo. Por exemplo, os vetores

v₁ = (1,0,0)

v₂ = (0,1,0)

v₃ = (1,1,0)

são LD pois para a₁ = a₂ = 1 e a₃ = -1 temos a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ = 0. Por outro lado, para os vetores

v₁ = (1,0,0)

v₂ = (0,1,0)

v₃ = (0,0,1)

A única maneira de termos a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ = 0 é se a₁ = a₂ = a₃ = 0. Assim, esses 3 últimos são LI.

Voltando ao problema basta ver que a₁ = 2, a₂ = -1 e a₃ = -1 temos

a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ = 2v₁ - 1v₂ - 1v₃

a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ = 2v₁ - v₂ - (2v₁ - v₂)

a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ = 0

Ou seja, esses vetores são LD