Question

Na figura abaixo, o ponto B pertence a CD, o triângulo ABC é eqüilátero e AB = BD. Calculem a medida de um ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos ângulos BAD e BDA .​

Answer 1

Acompanhe com auxilio das figuras (anexo).

Como ABC é equilátero, seus 3 lados terão mesma medida e, também, seus três ângulos internos, que terão medida de 60°.

Já o triangulo ABD, como possui dois de seus lados iguais (AB e BD), triangulo isósceles, terá também dois ângulos semelhantes (α e β na figura).

Assim, podemos utilizar a soma dos ângulos internos do triangulo ABD para determinar a medida de α e β:

$\theta~+~\alpha~+~\beta~=~180^\circ\\\\\\(180^\circ-60^\circ)~+~\alpha~+~\beta~=~180^\circ\\\\\\\alpha~+~\beta~=~180^\circ-120^\circ\\\\\\\boxed{\alpha~+~\beta~=~60^\circ}\\\\\\Mas,~\alpha=\beta~,~logo:\\\\\\\alpha~=~\beta~=~\frac{60^\circ}{2}\\\\\\\boxed{\alpha~=~\beta~=~30^\circ}$

Certo, agora que temos todos ângulos internos de ABD, podemos calcular o que é pedido e, pra isso, considere a segunda figura 2 (anexo).

Note que as bissetrizes dos ângulos BAD e BDA formam outro triangulo (ADE).

Estamos interessados no angulo agudo, ou seja, "x".

Ainda, note que "y" é suplementar a "x".

Utilizando a soma dos ângulos internos no triangulo ADE:

$15^\circ~+~15^\circ~+~y~=~180^\circ\\\\\\y~=~180^\circ-30^\circ\\\\\\\boxed{y~=~150^\circ}\\\\\\\\x~+~y~=~180^\circ\\\\\\x~+~150^\circ~=~180^\circ\\\\\\x~=~180^\circ~-~150^\circ\\\\\\\boxed{x~=~30^\circ}$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo: