Question

I) A função f é definida por:
$\boxed{f(x) = \lim_{n \rightarrow 0} \frac{2nx}{n {}^{2} - nx} }$
Em que valores de x, (f) é descontínua?
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Answer 1

Primeiro vamos calcular f(x). Basta resolvermos o limite

$f(x) = \displaystyle \lim_{n \to 0} \, \dfrac{2nx}{n^2 -nx}$

Notamos que se x = 0 então  $\dfrac{2nx}{n^2 -nx} = 0$ para todo n ≠ 0.  Logo, f(0) = 0. Por outro lado, se x não é nulo fatorando n obtemos

$f(x) = \displaystyle \lim_{n \to 0}\, \dfrac{2x}{n-x}$

No limite acima, o numerador tende a 2x e o denominador tende a -x. Com isso concluímos que f(x) = -2. Portanto, a função f é

$f(x) = \begin{cases} -2 \quad \quad \textrm{se } x \neq 0 \\ \phantom{-}0 \quad \quad \textrm{se } x = 0 \\ \end{cases}$

Lembramos que para que f seja contínua num ponto x₀ devemos ter

$\displaystyle \lim_{x \to x_0} \, f(x) = f(x_0)$

Para a função dessa questão temos

$\displaystyle \lim_{x \to x_0} \, f(x) = -2$

para qualquer x₀. Assim, f é continua em todos os pontos x₀ tais que f(x₀) = -2. Portanto, o único ponto de descontinuidade é x₀ = 0.

Resposta:

f é descontínua apenas em 0.