Question

$f(x) = \begin{cases} - x \: \: \: se \: \: x < 0 \\ 1 \: \: \: se \: \: 0 \leqslant x \end{cases} \\ e \\ \\ g(x) = \begin{cases}1 \: se \: \: x < 0 \\ x \: \: se \: \: 0 \leqslant x \end{cases}$
I) Prove que f e g são ambas descontínuas em 0, mas o produto f . g é contínuo em 0.​

Answer 1

Primeiro observamos que f e g são de fato descontínuas em 0. Para calcularmos os limites laterais, observe que f e g são definidas por polinômios nos intervalos (-∞,0) e (0,∞). Logo temos

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \, f(x) = \lim_{x \to 0^+} \, 1 = 1 \\[2ex]\lim_{x \to 0^-} \, f(x) = \lim_{x \to 0^-} \, -x = 0\\[2ex]\lim_{x \to 0^+} \, g(x) = \lim_{x \to 0^+} \, x = 0 \\[2ex]\lim_{x \to 0^+} \, g(x) = \lim_{x \to 0^-} \, 1 = 1 \\[2ex]$

Assim, nem existem os limites em 0. Em particular f,g não podem ser contínuas. Por outro lado, o produto de f e g é a função

$f(x)\cdot g(x) = \begin{cases} -x, & \textrm{se } x < 0 \\ \phantom{-} x, &\textrm{se } x \geq 0\end{cases} \implies f(x) \cdot g(x) = |x|$

Ou seja, f(x)g(x) = |x|. Como a função módulo é contínua, segue que o produto f(x)g(x) é continuo em 0. Também podemos calcular os limites laterais para verificar esse fato:

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \, |x| = \lim_{x \to 0^+} \, x= 0 \\[2ex]\lim_{x \to 0^-} \, |x| = \lim_{x \to 0^-} \, -x = 0$