Question

Quantos termos possui a PA (5, 9, ........, 37) ?
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Answer 1

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (5, 9, ..., 37), tem-se que:

a)trata-se de uma progressão aritmética (P.A.) finita, porque se sabe qual é o último termo, embora não se conheça a sua posição, a ordem em que ele se encontra na referida sequência;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:5

c)último termo (an): 37 (Chama-se último termo ou enésimo termo porque não se conhece a posição (a ordem) que ele ocupa na progressão.)

d)número de termos (n): ? (Embora não se saiba o seu valor, necessariamente se diz que será positivo e inteiro, porque não existe indicação de quantidade por meio de números negativos e de decimais.)

e)por meio da observação dos dois primeiros termos e do último da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer).

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 9 - 5 ⇒

r = 4   (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o número de termos:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

37 = 5 + (n - 1) . (4) ⇒

37 = 5 + 4n - 4 ⇒

37 = 1 + 4n ⇒        

37 - 1 = 4n  ⇒

36 = 4n ⇒

36/3 = n ⇒

9 = n ⇔               (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

n = 9

Resposta: O número de termos da P.A.(5, 9, ..., 37) é 9.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo n = 9 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o número de termos realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

37 = a₁ + (9 - 1) . (4) ⇒

37 = a₁ + (8) . (4) ⇒        (Veja a Observação 2.)

37 = a₁ + 32 ⇒

37 - 32 = a₁ ⇒

5 = a₁ ⇔                         (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 5                              (Provado que n = 9.)

Observação 2: Na parte destacada, foi aplicada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).

→Veja outras tarefas relacionadas à determinação do número de termos em progressão aritmética e resolvidas por mim:

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Answer 2

$\underline{\textsf{Dados:}}\\\mathsf{a_{1}=5~~r=9-5=4~~a_{n}=37~~n=?}$

solução

$\mathsf{a_{n}=a_{1}+(n-1).r}\\\mathsf{37=5+(n-1).4}\\\mathsf{37=5+4n-4}\\\mathsf{37=4n+1}\\\mathsf{4n=37-1}$

$\mathsf{4n=36}\\\\\mathsf{n=\dfrac{36}{4}}\\\\\huge\boxed{\boxed{\mathsf{n=9}}}}$