Question

Por favor alguém pode me ajudar nesse exercício?
não estou conseguindo é valendo nota!

Obter os valores positivos e não nulos de M para que o sistema seja possível e determinado.

(3-m^2)x + 3y = 1
(m+3)x + (3-m)y = 2

Answer 1

Escrevendo o sistema na forma matricial temos:

$\begin{cases} (3-m^2)x + 3y = 1 \\[1ex] (m+3)x + (3-m)y = 2 \end{cases} \implies \left[\begin{array}{cc} 3-m^2 & 3 \\[1ex] m+3 & 3-m \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\[1ex] y\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c} 1 \\[1ex] 2\end{array}\right]$

Sendo  A a matriz dos coeficientes, X a matriz das incógnitas e B a matriz com os termos constantes podemos escrever como

AX=B

Para que o sistema seja possível e determinado, a matriz A deve ser invertível. Ou seja, devemos ter det A ≠ 0. Logo, temos:

$\det A = (3-m^2)(3-m) - 3(m+3) \implies \\[1ex] \det A= m^3-3m^2-3m+9-3m-9 \implies \\[1ex]\det A = m^3 - 3m^2-6m$

Vamos calcular as raízes de m³-3m²-6m = 0. Note que podemos fatorar o m. Portanto obtemos:

m(m² - 3m -6) = 0

Para que um produto de dois números seja nulo, devemos ter algum deles igual a zero. Ou seja

m = 0 ou

m²-3m-6 = 0

No segundo caso, usando a fórmula de Bhaskara temos

$m^2 - 3m - 6 = 0 \implies m = \dfrac{3 + \sqrt{33}}{2}\textrm{ ou } m = \dfrac{3 - \sqrt{33}}{2}$

Como queremos apenas os valores positivos de m para que o sistema seja possível, devemos ter

$\boxed{m \neq \dfrac{3 + \sqrt{33}}{2} }$

Resposta:

Os valores positivos de m para que o sistema seja possível e determinado são todos exceto $\dfrac{3 + \sqrt{33}}{2}$