a reta r passa pelo ponto B(4,-2,2) e é paralela a reta t: x =2y = -2z, determine sua equação vetorial
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Resposta:
Universitário
As equações paramétricas da reta r são (2 + 7t/2, 1 + t/2, -4 - t), t ∈ IR.
Vamos supor que o ponto B = (1 + 3t, 3 - t, -2 - 2t) é a interseção entre as retas r e s. Sendo assim, o vetor AB é paralelo à reta r.
Como o ponto A é igual a A = (2,1,-4), então o vetor AB é igual a:
AB = (1 + 3t, 3 - t, -2 - 2t) - (2, 1, -4)
AB = (1 + 3t - 2, 3 - t - 1, -2 - 2t + 4)
AB = (3t - 1, -t + 2, -2t + 2).
Temos a informação de que a reta r é paralela ao plano x - y + 3z = 5.
Isso significa que o vetor AB e o vetor normal do plano são perpendiculares.
O vetor normal do plano é n = (1,-1,3).
Dois vetores são perpendiculares quando o produto interno é igual a zero. Dito isso:
1.(3t - 1) + (-1).(-t + 2) + 3.(-2t + 2) = 0
3t - 1 + t - 2 - 6t + 6 = 0
-2t = -3
t = 3/2.
Portanto, o vetor AB é igual a:
AB = (3.3/2 - 1, -3/2 + 2, -2(3/2) + 2)
AB = (9/2 - 1, 1/2, -3 + 2)
AB = (7/2, 1/2, -1).
Assim, podemos concluir que as equações paramétricas da reta r são:
{x = 2 + 7t/2
{y = 1 + t/2
{z = -4 - t, t ∈ IR.