Question

Ao simplificar a expressão numérica (2^(3/2) .4^(3/5))/√32 ,utilizando propriedades da potenciação, obtemos:
a) 2^((-1)/5)
b) 2^(1/5)
c) 2^5
d) 2^(-5)
e) √(2^5 )

Answer 1

Resposta:

B

Explicação passo-a-passo:

"Vamos transformar a raiz em expoente fracionário, substituir 4 por 2² e 32 por 25.  Depois utilizamos a propriedade de potência de potência, para finalmente aplicar as propriedades da multiplicação e da divisão de potências de mesma base"

Answer 2

Ao simplificar a expressão: (2^(3/2) .4^(3/5))/√32, obtemos como resultado 2^(1/5). Portanto, a alternativa correta é a letra B.

Operação de potencialização

Para simplificar a expressão, primeiramente, iremos fatorar os números 4 e o 32.

Fatoração de 32:

$\begin{array}{r|l} 32&2\\ 16&2\\ 8&2\\ 4&2\\ 2&2\\ 1 \end{array}$

Portanto, 32 = 2^5.

Fatoração de 4:

$\begin{array}{r|l} 4&2\\ 2&2\\ 1 \end{array}$

Portanto, 4 = 2^2.

Substituindo em nossa expressão, temos:

$\dfrac{2^\frac{3}{2} ~.~4^\frac{3}{5}}{\sqrt{32} } = \dfrac{2^\frac{3}{2} ~.~(2^2)^\frac{3}{5}}{\sqrt{2^5} }$

Agora, iremos aplicar as seguintes propriedades da potência:

Potência de potência, nessa situação devemos multiplicar os expoentes - veja abaixo:

(a^m)^n = a^(m.n)

Multiplicação de potências de mesma base,  devemos conservar a base e somar os expoentes - ver abaixo:

a^m.a^n = a^(m + n)

Divisão de potências de mesma base, devemos conservar a base e subtrair os expoentes - ver abaixo:

a^m:a^n = a^(m – n)

Potência com expoente racional, o expoente do radicando será o numerador do expoente da base e o índice da raiz será o denominador - ver abaixo.

$\sqrt[m]{a^n} = a^\frac{n}{m}$

Aplicando as propriedades citadas acima, temos:

$\dfrac{2^\frac{3}{2} ~.~2^\frac{3.2}{5}}{2^\frac{5}{2} }= \dfrac{2^\frac{3}{2} ~.~2^\frac{6}{5}}{2^\frac{5}{2} }=\dfrac{2^{\frac{3}{2}+\frac{6}{5}}}{2^\frac{5}{2} }\\\\\\\dfrac{2^{\frac{27}{10}}}{2^\frac{5}{2} }=2^{\frac{27}{10}-\frac{5}{2}}=\boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr} 2^\frac{1}{5}\end{array}}\end{array}}$

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