Question

Em uma sala de aula foi aplicada uma prova a n alunos, sendo x moças e y rapazes. Após trinta minutos de iniciada a avaliação, haviam saído 5 rapazes e 10 moças, ficando em sala o mesmo número de rapazes e de moças. Ao fim de uma hora de prova, com a saída de mais 5 rapazes e 10 moças encontravam-se ainda em sala de aula rapazes e moças na razão 3/2. Sendo assim, no início da prova havia:
a) 35 moças
b) 25 rapazes
c) 50 alunos, entre moças e rapazes
d) 25 moças
e) 30 rapazes

Answer 1

x = moças
y = rapazes

t = 0     |      x      |      y      |
t = 30   |   x - 10   |   y - 5    |
t = 60   |   x - 20   |   y - 10  |

Quando t = 30 --> x = y
x - 10 = y - 5

Quando t = 60 --> $\frac{y}{x} = \frac{3}{2}$

$\frac{y-10}{x-20} = \frac{3}{2}$

$2(y-10) = 3(x-20)$

$2y-20) = 3x-60)$


Agora podemos fazer o sistema!

$\left \{ {{y-5=x-10} \atop {2y-20=3x-60}} \right.$

y = x - 10 + 5
y = x - 5

Substituindo!

2 (x - 5) - 20 = 3x - 60
2x - 10 - 20 = 3x - 60
3x - 60 = 2x - 10 - 20
3x - 60 = 2x - 30
3x - 2x = -30 + 60
x = 30 moças.

Logo, y = x - 5
y = 30 - 5
y = 25 rapazes.

Answer 2

Caro Ray,

Vamos transformar as informações do enunciado em equações matemáticas.

Chamarei de "x" o número de moças e "y" o de rapazes.

1) haviam saído 5 rapazes e 10 moças, ficando em sala o mesmo número de rapazes e de moças.

x-10=y-5 Desenvolvendo, temos que x-y=10-5 . Logo a primeira equação do sistema será x-y=5

2) Ao fim de uma hora de prova, com a saída de mais 5 rapazes e 10 moças encontravam-se ainda em sala de aula rapazes e moças na razão 3/2.

y-5-5    =   3
x-10-10     2

Desenvolvo essa equação e teremos:
y-10    =3
x-20      2      Multiplicam-se os extremos:

3*(x-20)=2*(y-10)

3x-60=2y-20

3x-2y=60-20

3x-2y=40 (segunda equação)

Agora basta montar o sistema com as duas equações:
x-y=5
3x-2y=40

Utilizarei o método da substituição, desenvolvendo a primeira equação, isolando uma das variáveis para substituí-la na segunda. Assim, y=x-5.

3x-2y=40
3x-2*(x-5)=40
3x-2x+10=40
x=40-10
x=30

Se x=30 e y=x-5, y=30-5, logo, y=25.

Portanto, há 30 moças e 25 rapazes.

Façamos a prova real:

a) x-y=5
30-25=5
5=5 (verdadeiro).

b) 3x-2y=40
3*30 -2*25=40
90-50=40
40=40 (verdadeiro).