Question

4)Determine o período e o conjunto imagem, construindo o gráfico de um período completo para cada função dada.a) por f(x) = 1+ 4 sen x.b) por f(x) = 2sen (x-3)?
3) (PUCRS) Qual o período e a imagem da função definida por f(x) = 3sen(2x)?
2) (UFPEL) Qual a imagem de f(x) = 2sen(x) - 3?
1)Determine o período, a imagem e construa o gráfico de cada uma das funções abaixo: a) f(x) = 3sen(x) b) f(x) = 1 - sen(3x) c) f(x) = -1+2sen(0,5x)?
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Answer 1

1-) a)período  = 2π . imagem {y ∈ R : -3 ≤ y ≤ 3}

b)período = 2π/3. imagem {y ∈ R : 0 ≤ y ≤ 2}

c)período = 4π.imagem {y ∈ R : -3 ≤ y ≤ 1}

2-) (x) = 2.sen x - 3

- 1 <_ sen x <_ 1 (mult. por 2)

- 2 <_ 2.sen x <_ 2 ...("tira" 3)

- 2 - 3 <_ 2.sen x - 3 <_ 2 - 3

- 5 <_ 2.sen x - 3 <_ - 1

2.sen x - 3 = f(x)

Conjunto imagem =

{ y € R l - 5 <_ y <_ - 1 }

3-) f(x) = 3sen(2x)

Valor minímo:

3 × (-1) = -3

Valor máximo:

3 × 1 = 3

Imagem (Im):

Im = {-3,3}

O período:

P = 2pi÷2

P = pi rad

4-) A) período = 2Pi

imagem {y ∈ R : -3 ≤ y ≤ 5}.

B) período= 2Pi

imagem {y ∈ R : -2 ≤ y ≤ 2}.

Answer 2

As funções trigonométricas constituem um tema importante da Matemática, tanto por suas aplicações que vão desde as mais elementares, no dia-a-dia, até as mais complexas, na Ciência e na alta Tecnologia.

A fim de responder aos questionamentos apresentados, dividirei a solução em blocos.

Questão 1) Para se dar bem com as funções trigonométricas, você precisa conhecer as funções trigonométricas básicas $sen(x)$, $cos(x)$ e $tan(x)$. É por meio delas que analisamos todas as outras que derivam delas usando das ideias de deslocamento (translação).

Como essa questão diz apenas sobre funções que são oriundas da função $f(x)=sen(x)$, vejamos como essa função se comporta:

• Período: $2\pi$
• Imagem: $[-1,1]$
• Gráfico: (Anexo - a)

Dessa forma, para conseguir cada uma das soluções dos itens dessa primeira questão (e também das seguintes), basta lembrar que:

 → Multiplicar algo no argumento da função (dentro do parênteses) altera seu período de forma inversamente proporcional. (Ex: Dobrar o argumento reduz o período à metade)

 → Multiplicar um número à função (pelo lado de fora) altera sua imagem. Ou seja, aumenta (ou diminui) a amplitude da onda associada ao gráfico da função.

 → Somar (ou diminuir) um número à função (pelo lado de fora) altera também sua imagem (deslocamentos para cima ou para baixo).

Dessa forma:

(a) $f(x) = 3sen(x)$

Note que foi multiplicado 3 à função (pelo lado de fora). Logo, teremos alteração somente na imagem da função em comparação à função básica $f(x)=sen(x)$. Com isso:

• Período: $2\pi$ (Não alterou!)
• Imagem: $[-3,3]$
• Gráfico: (Anexo - b)

(b) $f(x) = 1-sen(3x)$

Aqui  foi multiplicado 3 ao argumento da função, multiplicado -1 (pelo lado de fora) e somado 1 à função. Logo, teremos alteração na imagem e período. Com isso:

• Período: $\frac{2\pi}{3}$ (Se multiplicou por 3, reduziu à um terço)
• Imagem: $[0,2]$

A amplitude da senóide (nome da curva do gráfico seno) não alterou.       Contudo, somar 1 à função deslocou para cima o gráfico da função $f(x)=-sen(3x)$ cuja imagem é o intervalo $[-1,1]$. Dessa forma, $-1 + 1 = 0$ e $1 + 1 = 2.$

• Gráfico: (Anexo - c)

(c) $f(x)=-1+2sen(0,5x)$

Neste  foi multiplicado 0,5 ao argumento da função, multiplicado 2 (pelo lado de fora) e somado -1 à função. Logo, teremos alteração na imagem e período. Com isso:

• Período: $4\pi$ (Se multiplicou por 0,5, o período dobra)
• Imagem: $[-3,1]$

A amplitude se altera primeiramente. Multiplicar 2 (pelo lado de fora) faz a imagem ir de -2 a 2. Em seguida,  somar -1 à função desloca para baixo o gráfico da função $f(x)=2sen(0,5x)$ cuja imagem é o intervalo $[-2,2]$. Dessa forma, $-2 - 1 = -3$ e $2 - 1 = 1.$

• Gráfico: (Anexo - d)

Questão 2) Essa questão traz uma função que é oriunda da função $f(x)=sen(x)$.

Dessa forma, seguindo os passos anteriormente mostrados, vemos que neste foi multiplicado 2 (pelo lado de fora) e somado -3 à função. Logo, teremos alteração somente na imagem. Com isso:

• Período: $2\pi$ (Não alterou em relação à função básica $sen(x)$)
• Imagem: $[-5,-1]$

A amplitude se altera primeiramente. Multiplicar 2 (pelo lado de fora) faz a imagem ir de -2 a 2. Em seguida,  somar -3 à função desloca para baixo o gráfico da função $f(x)=2sen(x)$ cuja imagem é o intervalo $[-2,2]$. Dessa forma, $-2 - 3 = -5$ e $2 - 3 = -1.$

Questão 3) Essa questão traz também uma função que é derivada da função $f(x)=sen(x)$.

De forma análoga,  foi multiplicado 2 ao argumento da função e multiplicado 3 (pelo lado de fora). Logo, teremos alteração na imagem e período.

• Período: $\pi$ (Se dobrou, o período foi reduzido à metade)
• Imagem: $[-3,3]$

A amplitude se altera. Multiplicar 3 (pelo lado de fora) faz a imagem ir de -3 a 3.

Questão 4) Essa questão traz também funções que são derivada da função $f(x)=sen(x)$.

De forma análoga,

(a) $f(x) = 1+4sen(x)$

Foi multiplicado 4 (pelo lado de fora) e somado -1 à função. Logo, teremos alteração somente na imagem. Com isso:

• Período: $2\pi$ (Não alterou!)
• Imagem: $[-3,5]$
• Gráfico: (Anexo - e)

(b) $f(x) = 2sen(x-3)$

Aqui temos um caso diferente dos demais acima. Observe que agora subtraiu-se algo no argumento da função! Não se assuste! Essa mudança não vai alterar o período da função. Teremos apenas um deslocamento horizontal de 3 unidades pra direita da função. Com isso:

• Período: $2\pi$ (Não alterou!)
• Imagem: $[-2,2]$
• Gráfico: (Anexo - f)

Você pode aprender mais sobre o assunto em:

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