Question

01) Utilizando a fórmula encontre a distância entre o ponto P(-1,-3) e a reta r, de equação 3x - y + 5 = 0.
02) Utilizando a fórmula encontre a distância entre o ponto P(0,2) e a reta r, de equação 4x - 3y - 11 = 0
03) Utilizando a fórmula encontre a distância entre o ponto P(-2,5) e a reta r, de equação 5x + 2y + 29 = 0
04) Utilizando a fórmula encontre a distância entre o ponto P(1,-1) e a reta r, de equação 3x - y - 4 = 0

Answer 1

A distância entre o ponto P e a reta r é: 01) √10/2; 02) 17/5; 03) √29; 04) 0.

Considere que temos a reta ax + by + c = 0 e o ponto P = (x₀,y₀). A distância entre a reta e o ponto é determinada pela seguinte fórmula:

• $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

01) Do ponto P = (-1,-3) temos que x₀ = -1 e y₀ = -3. Da reta 3x - y + 5 = 0 temos que a = 3, b = -1 e c = 5.

Substituindo esses valores na fórmula acima, obtemos:

d = |3.(-1) + (-1).(-3) + 5|/√(3² + (-1)²)

d = 5/√10

d = √10/2.

02) Do ponto P = (0,2) temos que x₀ = 0 e y₀ = 2. Da reta 4x - 3y - 11 = 0 temos que a = 4, b = -3 e c = -11.

Substituindo esses valores na fórmula acima, obtemos:

d = |4.0 + (-3).2 - 11|/√(4² + (-3)²)

d = |-17|/5

d = 17/5.

03) Do ponto P = (-2,5) temos que x₀ = -2 e y₀ = 5. Da reta 5x + 2y + 29 = 0 temos que a = 5, b = 2 e c = 29.

Substituindo esses valores na fórmula acima, obtemos:

d = |5.(-2) + 2.5 + 29|/√(5² + 2²)

d = 29/√29

d = √29.

04) Do ponto P = (1,-1) temos que x₀ = 1 e y₀ = -1. Da reta 3x - y - 4 = 0 temos que a = 3, b = -1 e c = -4.

Substituindo esses valores na fórmula acima, obtemos:

d = |3.1 + (-1).(-1) - 4|/√(3² + (-1)²)

d = 0.

Answer 2

Utilizando definições de geometria analítica para pontos e retas, temos que:

• 1) √10 / 2
• 2) 17 / 2
• 3) √29
• 4) √10 / 5

Explicação passo-a-passo:

Em qualquer situação onde temos um ponto do tipo:

P = ( Xo , Yo )

E um reta R do tipo:

a . x + b . y + c = 0

Então a distância entre este ponto P e esta reta R é dada por:

$d=\frac{|a.x_0+b.y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Assim para todas estas questões, basta identificarmos as contantes Xo, Yo, a, b e c, e teremos tudo necessario para fazer este calculo:

1)

Nossas constantes são:

Xo = -1 ; Yo = -3

a = 3 ; b = -1 ; c = 5

Então nossa distância é dada por:

$d=\frac{|3.(-1)-1.(-3)+5|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\frac{|-3+3+5|}{\sqrt{9+1}}=\frac{|5|}{\sqrt{10}}$

Tirando o modulo e racionalizando, temos:

$d=\frac{5\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}$

Assim temos que d = √10 / 2.

2)

Nossas constantes são:

Xo = 0 ; Yo = 2

a = 4 ; b = -3 ; c = -11

Então nossa distância é dada por:

$d=\frac{|4.0-3.2-11|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{|-6-11|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|-17|}{\sqrt{25}}=\frac{17}{5}$

Assim temos que d = 17/5.

3)

Nossas constantes são:

Xo = -2 ; Yo = 5

a = 5 ; b = 2 ; c = 29

Então nossa distância é dada por:

$d=\frac{|5.(-2)+2.5+29|}{\sqrt{5^2+2^2}}=\frac{|-10+10+29|}{\sqrt{25+4}}=\frac{|29|}{\sqrt{29}}$

Tirando o modulo e racionalizando, temos:

$d=\frac{29\sqrt{29}}{29}=\sqrt{29}$

Assim temos que d = √29.

4)

Nossas constantes são:

Xo = 1 ; Yo = -1

a = 3 ; b = -1 ; c = -4

Então nossa distância é dada por:

$d=\frac{|3.1-1.(-1)-4|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\frac{|3+3-4|}{\sqrt{9+1}}=\frac{|2|}{\sqrt{10}}$

Tirando o modulo e racionalizando, temos:

$d=\frac{2\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

Assim temos que d = √10 / 5.

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