01) Utilizando a fórmula encontre a distância entre o ponto P(-1,-3) e a reta r, de equação 3x - y + 5 = 0.
02) Utilizando a fórmula encontre a distância entre o ponto P(0,2) e a reta r, de equação 4x - 3y - 11 = 0
03) Utilizando a fórmula encontre a distância entre o ponto P(-2,5) e a reta r, de equação 5x + 2y + 29 = 0
04) Utilizando a fórmula encontre a distância entre o ponto P(1,-1) e a reta r, de equação 3x - y - 4 = 0
Respostas
A distância entre o ponto P e a reta r é: 01) √10/2; 02) 17/5; 03) √29; 04) 0.
Considere que temos a reta ax + by + c = 0 e o ponto P = (x₀,y₀). A distância entre a reta e o ponto é determinada pela seguinte fórmula:
- .
01) Do ponto P = (-1,-3) temos que x₀ = -1 e y₀ = -3. Da reta 3x - y + 5 = 0 temos que a = 3, b = -1 e c = 5.
Substituindo esses valores na fórmula acima, obtemos:
d = |3.(-1) + (-1).(-3) + 5|/√(3² + (-1)²)
d = 5/√10
d = √10/2.
02) Do ponto P = (0,2) temos que x₀ = 0 e y₀ = 2. Da reta 4x - 3y - 11 = 0 temos que a = 4, b = -3 e c = -11.
Substituindo esses valores na fórmula acima, obtemos:
d = |4.0 + (-3).2 - 11|/√(4² + (-3)²)
d = |-17|/5
d = 17/5.
03) Do ponto P = (-2,5) temos que x₀ = -2 e y₀ = 5. Da reta 5x + 2y + 29 = 0 temos que a = 5, b = 2 e c = 29.
Substituindo esses valores na fórmula acima, obtemos:
d = |5.(-2) + 2.5 + 29|/√(5² + 2²)
d = 29/√29
d = √29.
04) Do ponto P = (1,-1) temos que x₀ = 1 e y₀ = -1. Da reta 3x - y - 4 = 0 temos que a = 3, b = -1 e c = -4.
Substituindo esses valores na fórmula acima, obtemos:
d = |3.1 + (-1).(-1) - 4|/√(3² + (-1)²)
d = 0.
Utilizando definições de geometria analítica para pontos e retas, temos que:
- 1) √10 / 2
- 2) 17 / 2
- 3) √29
- 4) √10 / 5
Explicação passo-a-passo:
Em qualquer situação onde temos um ponto do tipo:
P = ( Xo , Yo )
E um reta R do tipo:
a . x + b . y + c = 0
Então a distância entre este ponto P e esta reta R é dada por:
Assim para todas estas questões, basta identificarmos as contantes Xo, Yo, a, b e c, e teremos tudo necessario para fazer este calculo:
1)
Nossas constantes são:
Xo = -1 ; Yo = -3
a = 3 ; b = -1 ; c = 5
Então nossa distância é dada por:
Tirando o modulo e racionalizando, temos:
Assim temos que d = √10 / 2.
2)
Nossas constantes são:
Xo = 0 ; Yo = 2
a = 4 ; b = -3 ; c = -11
Então nossa distância é dada por:
Assim temos que d = 17/5.
3)
Nossas constantes são:
Xo = -2 ; Yo = 5
a = 5 ; b = 2 ; c = 29
Então nossa distância é dada por:
Tirando o modulo e racionalizando, temos:
Assim temos que d = √29.
4)
Nossas constantes são:
Xo = 1 ; Yo = -1
a = 3 ; b = -1 ; c = -4
Então nossa distância é dada por:
Tirando o modulo e racionalizando, temos:
Assim temos que d = √10 / 5.
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