Question

Quantos números existem no intervalo $0\leq~x\leq1500$ que não sejam múltiplos de 2 e nem de 3.

 

 

Só pra dar uma animada nos ânimos...

Answer 1

Prezado irmão Dexter,

Podemos observar, de forma trivial, que, no intervalo [0;1500], temos 1501 elementos numéricos, sendo 751 pares (múltiplos de 2, inclusos o zero e o 1500) e 750 ímpares.
Além disso, temos $x$ múltiplos de 3 e $y$ múltiplos de 6.

Sendo assim, no intervalo [0;1500] temos $1501 - (751 + x - y)$ elementos que não são múltiplos nem de 2 nem de 3.

O exercício se resume, portanto, a encontrarmos um meio de determinar o $x$ e o $y$ na expressão acima.

Os múltiplos de 3 e de 6 formam PAs de razão 3 e 6 cujos primeiros termos ($a_1$) são 0 (zero) e os últimos termos ($a_n$) são 1500.


Múltiplos de 3  (valor de $x$):

$a_1=0$
$a_n=1500$

$a_n = a_1 + (n-1).r \Rightarrow 1500 = 0 +(n-1).3\Rightarrow\\\\n - 1 = 500\Rightarrow n=501$ 


Múltiplos de 6  (valor de $y$):

$a_1=0$
$a_n=1500$

$a_n = a_1 + (n-1).r \Rightarrow 1500 = 0 +(n-1).6\Rightarrow\\\\n - 1 = 250\Rightarrow n=251$


Conclusão:

$1501- (751 + x - y) = \\\\ = 750 - x + y =\\\\ = 750 - 501 + 251 =\\\\ = \boxed{500}$