Question

considera função definida pela lei f(x)= a+log(x+2) na base b, sendo a e b constantes reais.
a) calcule o valer de A e B sabendo que f(0)=3 e f(3)=4.

Answer 1

Vamos substituir os dois pares ordenados, fornecidos pelo enunciado, na função f(x):

$\underline{Para~~f(0)=3}:\\\\\\3~=~a~+~log_{_b}(0+2)\\\\\\\boxed{a~+~log_{_b}2~=~3}~~~~[Equacao~1]\\\\\\\\\underline{Para~~f(3)=4}:\\\\\\4~=~a~+~log_{_b}(3+2)\\\\\\\boxed{a~+~log_{_b}5~=~4}~~~~[Equacao~2]$

Note que temos agora 2 equações (1 e 2) com 2 incógnitas ("a" e "b"), logo podemos utilizar qualquer método conhecido para a solução de sistemas de equações para determinar o valor das incógnitas.

Por praticidade, vou resolver utilizando o método da adição.

Somando a Equação 1 com o negativo da Equação 2:

$\left(a+log_{_b}5\right)~-~\left(a+log_{_b}2\right)~=~4~-~3\\\\\\a~+~log_{_b}5~-~a~-~log_{_b}2~=~1\\\\\\log_{_b}5~-~log_{_b}2~=~1$

Utilizando a propriedade do logaritmo do quociente

$log_{_b}\left(\frac{5}{2}\right)~=~1$

Aplicando a definição de logaritmo:

$\frac{5}{2}~=~b^1\\\\\\\boxed{b~=~\frac{5}{2}}$

Agora, basta substituir o valor de "b" em uma das duas equações para achar o valor de "a".

$a~+~log_{_b}2~=~3\\\\\\a~+~log_{_\frac{5}{2}}2~=~3\\\\\\\boxed{a~=~3~-~log_{_\frac{5}{2}}2}$