Question

3 - Assinale a forma mais simplificada de escrever a expressão abaixo.

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Para resolver essa questão, vamos usar a seguinte propriedade:

$\boxed{a \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{b.a {}^{m} } }$

Ela diz que: O termo que está fora da raiz ao entrar no radical, eleva-se ao expoente do radical (índice) a qual ela foi inserida.

$\boxed{ \sqrt{ \frac{ {x}^{3} }{y} . \sqrt{ \frac{x}{y} } }} \\ \\ \sqrt{ \sqrt{ \frac{x}{y}.( \frac{x {}^{3} }{y} ) {}^{2} } }$

A expressão foi inserida no radical e elevou-se ao expoente que corresponde ao índice desse radical (2).

$\sqrt{ \sqrt{ \frac{x}{y} . \frac{x {}^{6} }{y {}^{2} } } } \\ \\ \sqrt{ \sqrt{ \frac{x {}^{6 + 1} }{y {}^{1 + 2} } } } \\ \\ \sqrt{ \sqrt{ \frac{x{}^{7} }{y {}^{3} } } } \\ \\ \sqrt{ \sqrt{ \frac{x {}^{4} }{1}. \frac{x {}^{3} }{y { }^{3} } } } \\ \\ \sqrt[4]{ \frac{x {}^{4} }{1} . \frac{x {}^{3} }{y {}^{3} } } \\ \\ \sqrt[4]{ \frac{x {}^{4} }{1} } . \sqrt[4]{ \frac{ x {}^{3} }{y {}^{3} } } \\ \\ \frac{x}{1} . \sqrt[4]{ \frac{x {}^{3} }{y {}^{3} } } \\ \\ \boxed{x. \sqrt[4]{ \frac{x {}^{3} }{y {}^{3} } } }$

Resposta: item d)

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

Answer 2

Utilizando tecnicas e propriedades que relacionam potências e raízes, vemos que o resultado que melhor representa esta forma simplificada é dada pela alternativa D.

Explicação passo-a-passo:

Vou resolver este caso de um forma um pouco diferente, que é simplesmente me livrando completamente das raíz, em troca de usar somente potências.

Sabemos que raízes são na verdade potência fracionarias, da forma:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

Então podemos transformar estas duas raízes em potências simplesmente:

$\sqrt{\frac{x^3}{y}\sqrt{\frac{x}{y}}}=\left(\frac{x^3}{y}\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$

Agora vamos usar outra propriedade, que nos diz que potência são aplicadas a fatores dentro dela individualmente se estes fatores estiverem multiplicando ou dividindo somente, assim ficaremos com:

$\left(\frac{x^3}{y}\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{x^3}{y}\frac{x^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{2}}$

E multiplicando potências de mesma base, podemos somar seus expoentes:

$\left(\frac{x^3}{y}\frac{x^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{x^{3+\frac{1}{2}}}{y^{1 + \frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{x^{\frac{7}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}}\right)^{\frac{1}{2}}$

E agora novamente aplicando a potência de fora em cada termo individualemten dentro, ficamos com:

$\left(\frac{x^{\frac{7}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{(x^{\frac{7}{2}})^{\frac{1}{2}}}{(y^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}}}$

E quando temos uma potência elevada a outra, podemos simplesmente multiplicar seus expoentes da forma:

$\frac{x^{\frac{7}{2}\cdot \frac{1}{2}}}{y^{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}}}=\frac{x^{\frac{7}{4}}}{y^{\frac{3}{4}}}$

E agora note que podemos colocar em evidência a potência de divisão por 4 que está em cima e em baixo:

$\left(\frac{x^{7}}{y^{3}}\right)^{\frac{1}{4}}$

E como sabemos que potência fracionarias são raízes, então podemos transformar novamente esta potência em raíz quarta:

$\left(\frac{x^{7}}{y^{3}}\right)^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{\frac{x^{7}}{y^{3}}}$

$=\sqrt[4]{\frac{x^{4+3}}{y^{3}}}=\sqrt[4]{\frac{x^{4}x^{3}}{y^{3}}}$

Cortando a potência de 4 com a raíz de 4, podemos retirar um valor de x:

$\sqrt[4]{\frac{x^{4}x^{3}}{y^{3}}}=x\sqrt[4]{\frac{x^{3}}{y^{3}}}$

E assim vemos que o resultado que melhor representa esta forma simplificada é dada pela alternativa D.

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