Question

Sejam os planos π1: 2x – 3y – 5z + 10 = 0 e π2: x – y = 0 e o ponto P = (2,0,1).
Determine:
a) As equações paramétricas da reta interseção dos planos π1 e π2
b) A equação do plano que contém o ponto P e a reta interseção dos planos π1 e π2
c) A distância do ponto P ao plano π2

Answer 1

1) Resolvemos o sistema π_1 ∩ π_2={r}, r=reta

Obtemos a intesecção P=($(x,x\frac{-x+10}{5} )=x(1,1,\frac{1}{5} )+(0,0,2)$ que é a reta:

$r:(x,y,z)=(0,0,2)+(1,1,-\frac{1}{5} )*t$

t∈R

2) Preciso de dois vetores diretores e  um Ponto, para determinar o Plano.

A reta r possui um vetor diretor: v=$(1,1,-\frac{1}{5} )$

Para descobrir outro tomamos o ponto A=(0,02) ∈ r e o ponto P.

OBSERVE que P∉r

Assim u=AP=P-A=(20,1)-(0,0,2)

u=(2,0,-1)

Assim:

π: $(x,y,z)=P+v*t+u*s\\\pi :(x,y,z)=(2,0,1)+(2,0,-1)*t+(1,1,-\frac{1}{5})*s$

3)a distância entre P e π2 é dada por:

$d(P,\pi 2)=\frac{|aXo+bYo+cZo+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} }$

$d(P,\pi 2)=\sqrt{2}$

Segue em anexo contas: