Question

Binômio de newton

Dê o coeficiente de x9 no desenvolvimento de ( x3 +2)7


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Answer 1

Resposta:

(x3+2)7

x3-5

x=2

2e a resposta

Answer 2

Portanto  o coeficiente x⁹ é igual a 1,78x⁻⁶

Binômio de Newton

É um binômio elevado a "n", tal que, "n" seja um número natural.

(A + B)ⁿ

Lembre-se que todo número elevado a zero é igual a 1 e todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo.

Newton estabeleceu as seguintes fórmulas:

$(a+b)^n=\left[\begin{array}{c}n\\0\end{array}\right] a^n + \left[\begin{array}{c}n\\1\end{array}\right] a^{n-1}b +\left[\begin{array}{c}n\\2\end{array}\right] a^{n-2}b+...+\left[\begin{array}{c}n\\n-1\end{array}\right] ab^{n-1}+\left[\begin{array}{c}n\\n\end{array}\right] b^{n}$

e $\left[\begin{array}{c}n&k\end{array}\right] =\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Dado:

• (x³ + 2)⁷

Temos:

• A = x³
• B = 2
• n = 7

Primeiro escrevemos o polinômio utilizando a fórmula

$(x^3+2)^7=\left[\begin{array}{c}7\\0\end{array}\right] a^7 + \left[\begin{array}{c}7\\1\end{array}\right] a^{6}b +\left[\begin{array}{c}7\\2\end{array}\right] a^{5}b^2+\left[\begin{array}{c}7\\3\end{array}\right] a^4b^{3}+\left[\begin{array}{c}7\\4\end{array}\right] a^3b^{4}+\left[\begin{array}{c}7\\5\end{array}\right] a^2b^{5}+\left[\begin{array}{c}7\\6\end{array}\right] ab^{6}+\left[\begin{array}{c}7\\7\end{array}\right] b^{7}$

Calculamos as combinações:

$\left[\begin{array}{c}7&0\end{array}\right] =\frac{7!}{0!(7-0)!} =\frac{7!}{7!} =1\\ \left[\begin{array}{c}7&1\end{array}\right] =\frac{7!}{1!(7-1)!} =\frac{7!}{1!6!} =7 \\ \left[\begin{array}{c}7&2\end{array}\right] =\frac{7!}{2!(7-2)!} =\frac{7!}{2!5!} =42$

e assim por diante ...

Para o coeficiente x⁹:

(I) $\left[\begin{array}{c}7&9\end{array}\right] (x^3)^{7-9}2^9$

$\left[\begin{array}{c}7&9\end{array}\right]= \frac{7!}{9!(7-9)!}= \frac{7!}{9!(-2)!} = \frac{1}{72(-2)} = -\frac{1}{144}$

Voltando (I):

$-\frac{1}{144} (x^3)^{-2}2^9=-\frac{1}{144} (x)^{-6}256=-1,78(x)^{-6}$

Portanto  o coeficiente x⁹ é igual a 1,78x⁻⁶

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Bons Estudos!