Question

Reduza a uma só potência: a) 5⁶ . 5² = b) x⁵ .x³ . x = Sua resposta c) a . a² . a = Sua resposta d) (-3)⁷ : (-3)² = Sua resposta f) (-3)⁷ : (-3) =

Answer 1

Resposta:

Para reduzir as potências de uma expressão para apenas uma potência, devemos trabalhar com as propriedades da potenciação. Primeiramente, temos a propriedade da multiplicação, onde somamos os expoentes. De maneira análoga, temos a propriedade da divisão, onde subtraímos os expoentes de mesma base.

As quatro operações matemáticas básicas são adição, subtração, multiplicação e divisão, entretanto, não são as únicas operações existentes. Quando o produto envolve fatores que são todos iguais, é possível definir uma nova operação matemática: a potenciação. Como tudo na Matemática, com uma nova definição, é possível também encontrar novas propriedades exclusivas a ela.

Vale relembrar, de forma rápida, a definição de potenciação antes de prosseguir com a explicação de suas propriedades.

Definição de potenciação

A potenciação é a operação matemática baseada em um produto, na qual todos os fatores são o mesmo número real. Exemplo:

7·7·7·7

O número real que se repete é chamado de base da potência, e a quantidade de vezes que ele repete-se é denominada expoente da potência. É possível reescrever uma potência com notação própria, colocando o expoente à direita da base, como um índice superior. Veja o exemplo anterior escrito na notação de potência:

7·7·7·7 = 7^4

De forma geral, as potências são definidas como:

an = a·a·a·...·a, em que a repete-se n vezes.

Propriedades da potenciação

A potenciação possui oito propriedades mais importantes, com as quais é possível resolver quase todos os problemas envolvendo essa operação:

1 – Expoente zero

Sempre que o expoente de uma potência for zero, independentemente do valor de sua base, o resultado dessa potência será igual a 1. Em outras palavras, sendo a pertencente ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0:

a^0 = 1

2 – Expoente unitário

Sempre que o expoente de uma potência for 1, independentemente do valor de sua base, o resultado dessa potência sempre será igual ao valor da base. Em outras palavras, sendo a pertencente ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0:

a¹= a

3 – Produto de potências de mesma base

O resultado de um produto entre duas potências de bases iguais será uma terceira potência, na qual a base será igual às bases das potências que foram multiplicadas, e o expoente será igual à soma dos expoentes dessas potências.

Matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, e m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos:

Não pare agora... Tem

a^n∙a^m = a^n + m

Para verificar isso, observe o exemplo:

a^4·a^2 = a·a·a·a·a·a = a^6 = a^4 + 2

4 – Divisão de potências de mesma base

Na divisão de potências de mesma base, mantemos a base no resultado, e seu expoente será a diferença entre os expoentes das potências que estão sendo divididas.

Assim, traduzindo matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos:

a^n:a^m = a^n – m

Para verificar isso, observe o exemplo:

a^9:a^7 = a^9 – 7 = a^2

Isso acontece porque:

a^7:a^9 = a^7 = a.a.a.a.a.a.a.a.a = aa = a^2

a^9    a.a.a.a.a.a.a      

5 – Potência de potência

Isso ocorre quando a base de uma potência é outra potência. Nesse caso, multiplicamos os expoentes e conservamos a base.

Assim, se a for pertencente ao conjunto dos números reais e diferente de zero, m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, teremos:

(a^n)m = a^n·m

6 – Potência cuja base é uma divisão ou um produto

Nesse caso, cada um dos fatores deverá ser elevado separadamente ao expoente da potência. Dessa forma, se a e b forem pertencentes ao conjunto dos números reais e diferentes de zero, e m pertencente ao conjunto dos números naturais, teremos:

(a·b)n = a^n·b^n

Se a base for uma divisão, teremos:

(a:b)n = a^n:b^n

Esse último caso também pode ser expresso na forma de fração.

7 – Expoentes negativos

Quando um expoente é negativo, seu sinal poderá ser invertido desde que, para isso, a base da potência também seja invertida.

Assim, caso a pertença aos números reais, e n seja pertencente aos números naturais e diferente de zero, teremos:

8 – Potências com expoente racional

Caso uma potência apresente base a e expoente m/n, ela poderá ser reescrita como a raiz enésima de a elevado a m. Assim, matematicamente, teremos:

a)5^8

b)x^9

c)a^4

d)(-3)^5

e)3^6

espero ter ajudado

Answer 2

Reduzindo as potências, temos:

a) $5^{8}$          b)  $x^{9}$         c) $a^{4}$           d) $- 3^{5}$          f) $- 3^{6}$

Para respondermos essa questão, vamos entender o que é a potenciação, que é o assunto que está sendo envolvido pela questão.

A potenciação nada mais é do que a multiplicação de números igual repetidas vezes, em que é representada pela potência. Ou seja:

$x^{y}$

Sendo:

x = número qualquer

y = potência do número

Vamos analisar o seguinte exemplo para compreendermos melhor

Exemplo:

4³ = temos que o número 4 está sendo repetido 3 vezes, ou seja:

4³ = 4 * 4 * 4

Realizamos a multiplicação dos números e encontraremos o resultado

4³ = 64

A questão nos pede:

Reduzir as potências

Para reduzir as potências, quando se tem uma mesma base, apenas fazemos a operação no expoente.

Vamos analisar as alternativas

a) 5⁶ . 5²

Como é uma multiplicação, vamos manter as potências e somar os expoentes

5⁶ . 5² = $5^{6 + 2}$

5⁶ . 5² = $5^{8}$

b) x⁵ . x³ . x

Como é uma multiplicação, vamos manter as potências e somar os expoentes

x⁵ . x³ . x = $x^{5 + 3 + 1}$

x⁵ . x³ . x = $x^{9}$

c) a . a² . a

Como é uma multiplicação, vamos manter as potências e somar os expoentes

a . a² . a = $a^{1 + 2 + 1}$

a . a² . a = $a^{4}$

d) (-3)⁷ : (-3)²

Como é uma divisão, vamos manter as potências e subtrair os expoentes

(-3)⁷ : (-3)² = $- 3^{7 - 2}$

(-3)⁷ : (-3)² = $- 3^{5}$

f) (-3)⁷ : (-3) =

Como é uma divisão, vamos manter as potências e subtrair os expoentes

(-3)⁷ : (-3) = $- 3^{7 - 1}$

(-3)⁷ : (-3) = $- 3^{6}$

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