Question

04) Determine x para que o ponto P(x, 3) seja
eqüidistante dos pontos A (1, 5) e B (4,2).

Answer 1

Oi! Resolveremos esse exercício sobre geometria analítica.

• O que é equidistante?

Se o ponto P é equidistante aos pontos A e B, ele está a uma mesma distância desses dois pontos.

• Como calcular a distância entre dois pontos?

Utilizando a fórmula:

$\large\boxed{d_{ab}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}$

Onde,  $A~(x_2,~y_2)$  e  $B~(x_1,~y_1)$.

• Resolução

Iremos calcular as distâncias Dpa e Dpb.

➢ Relembrando o produto notável:

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Distância entre P e A.

➯ P (x, 3)

➯ A (1, 5)

$d_{pa}=\sqrt{(x-1)^2+(3-5)^2}\\\\d_{pa}=\sqrt{x^2-2x+1+(-2)^2}\\\\d_{pa}=\sqrt{x^2-2x+1+4}\\\\\boxed{d_{pa}=\sqrt{x^2-2x+5}}$

Distância entre P e B.

➯ P (x, 3)

➯ B (4, 2)

$d_{pb}=\sqrt{(x-4)^2+(3-2)^2}\\\\d_{pb}=\sqrt{x^2-8x+16+1^2}\\\\d_{pb}=\sqrt{x^2-8x+16+1}\\\\\boxed{d_{pb}=\sqrt{x^2-8x+17}}$

• Qual a resposta?

Dpa = Dpb

$\sqrt{x^2-2x+5}=\sqrt{x^2-8x+17}\\\\x^2-2x+5=x^2-8x+17\\\\x^2-x^2-2x+8x=17-5\\\\6x=12\\\\x=\dfrac{12}{6}\\\\\large\boxed{x=2}$

➢ Para que P seja equidistante aos pontos A e B, x deve valer 2.

• Prova real

Podemos descobrir se o resultado está correto substituindo x nas equações.

Dpa

$d_{pa}=\sqrt{x^2-2x+5}\\\\d_{pa}=\sqrt{2^2-2\cdot2+5}\\\\d_{pa}=\sqrt{4-4+5}\\\\\boxed{d_{pa}=\sqrt{5}}$

Dpb

$d_{pb}=\sqrt{x^2-8x+17}\\\\d_{pb}=\sqrt{2^2-8\cdot2+17}\\\\d_{pb}=\sqrt{4-16+17}\\\\\boxed{d_{pb}=\sqrt{5}}$

Dpa = Dpb

$\sqrt{5}=\sqrt{5}~~\checkmark$

☑ Saiba mais em:

1. Distância entre dois pontos: brainly.com.br/tarefa/11540547

2. Distância entre ponto e reta: brainly.com.br/tarefa/20718744

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida pode deixar nos comentários. Bons estudos! ♥️