Question

Calcule a área da região compreendida entre os graficos de y=1 e y=x² com 0=< X =< 2

Answer 1

$\Bmatrix{y_a=1\\\\y_b=x^2\\\\0 \leq x \leq 2\end$

fazendo ya = yb
$1 = x^2\\\\ \pm \sqrt{1}=x\\\\\boxed{\pm 1=x }$

então a parabola cruza a reta ya=1 nos pontos -1 e 1 

como ele quer no intervalo de 0 a 2 ..vc vai ter que resolver duas integrais
uma de 0 a 1 
e outra de 1 a 2

na integral de 0 a 1 quem limita a area por cima é a reta ya=1
e quem limita a area por baixo é a parabola yb=x²

a área dessa parte desse calculada com 
$\boxed{\boxed{ \int\limits^1_0 {(1-x^2)} \, dx }}}$

na outra integral que vai de 1 a 2 
quem limita a area por cima é a parabola yb
e quem limita a area por baixo é a reta ya

então a area dessa parte é dada por 
$\boxed{\boxed{ \int\limits^2_1 {(x^2-1)} \, dx }}$

a área total será

$Area= \int\limits^1_0 {(1-x^2)} \, dx + \int\limits^2_1 {(x^2-1)} \, dx \\\\\\ Area=\left(\left x- \frac{x^3}{3} \right| ^1_0\right) +\left(\left \frac{x^3}{3}-x \right| ^2_1\right)\\\\\\Area = \left ( [1- \frac{1^3}{3}]- 0-\frac{0^3}{3} \right) + \left ( [ \frac{2^3}{3}-2]- [ \frac{1^3}{3}-1]} \right) \\\\Area = \frac{2}{3} +\left( \frac{2}{3}+ \frac{2}{3} \right)\\\\Area = 2 _{(u.a)}$