Question

calcule a equação da reta tangente à curva f(x)=x² no ponto de abscissa x=2

Answer 1

Usando derivada:
$\dfrac{d(x^2)}{dx}= 2x$
A derivada nos dá a inclinação da reta tangente.

Em geometria analítica a reta tem a seguinte forma:
y=ax+b
A derivada nos dá justamente o valor de a para tal ponto no x. Ele disse para sabermos do ponto no x = 2.
Portanto:
$a=2x\\ a=2*2$

$y=4x+b$
Resta apenas sabermos o valor de b.
Sabemos que a função e sua derivada no ponto têm o mesmo valor.
Ou seja, quando x = 2, y = 4 -> (y = 2²), então para a reta tangente o mesmo deve valer, quando x = 2, y = 4.
$y=4x+b\\ 4=4*2+b\\ b=-4$

Logo a reta tangente a função x² no ponto 2 é:
$y=4x-4$

Answer 2

Após resolver os cálculos, concluímos que a equação da reta tangente à referida função quadrática pelo respectivo ponto de tangência é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 4x - 4\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                    $\Large\begin{cases} f(x) = x^{2}\\x = 2\end{cases}$

Para montar a equação da reta tangente devemos utilizar a fórmula ponto/declividade, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$          $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Se o valor da ordenada do ponto "T" é:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$

E o coeficiente angular da reta tangente é a derivada primeira da função em termos de "x", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$            $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = \left[\frac{\partial}{\partial x}\cdot f(x_{T})\right]\end{gathered}$

Substituindo as equações "II" e "III" em "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(IV)\end{gathered}$         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - f(x_{T}) = \left[\frac{\partial}{\partial x}\cdot f(x_{T})\right]\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Substituindo os dados na equação "IV" e desenvolvendo os cálculos, temos:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - (2^{2}) = (1\cdot2\cdot2^{2 - 1})\cdot(x - 2)\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 4 = (2\cdot2^{1})\cdot(x - 2)\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 4 = 4\cdot(x - 2)\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 4 = 4x - 8\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 4x - 8 + 4\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 4x - 4\end{gathered}$

Portanto, a equação da reta tangente é:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = 4x - 4\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$