Question

Considere a função f(x) = 1/(1-lnx). Encontre, caso exista, xo tal que f(xo) = f-¹(xo).

Answer 1

Primeiro vamos analisar a função. Notamos que a expressão $\mathsf{\dfrac{1}{1-\ln x}}$ está definida para x > 0 e x ≠ e.  Além disso, se 0 < x < e então ln(x) < 1 e portanto  f(x) > 0. Similarmente, se x > e temos f(x) < 0.

A função é crescente nos intervalos (0, e) e (e, ∞). Você pode derivar para ver isso, ou então apenas usar que ln(x) é crescente. Nesse caso temos

$x > y > e \implies \ln x > \ln y > 1 \implies 1-\ln x < 1-\ln y < 0 \\[1.5ex] \phantom{x>y>e}\implies \dfrac{1}{1-\ln y} < \dfrac{1}{1 - \ln x} < 0 \implies \boxed{f(x) > f(y)}$

$x < y < e \implies \ln x < \ln y < 1 \implies 1-\ln x > 1-\ln y > 0 \\[1.5ex] \phantom{x>y>e}\implies \dfrac{1}{1-\ln x} > \dfrac{1}{1 - \ln y} > 0 \implies \boxed{f(x) > f(y)}$

Já que 1-ln(x) pode assumir qualquer valor real, segue que a imagem de f é o conjunto B = { x ∈ R; x ≠ 0}. Assim, f é uma bijeção do conjunto A = (0,e)∪(e, ∞) em B. Ou seja, faz sentido pensar na inversa de f e a equação f(x) = f⁻¹(x) faz sentido. Porém mostraremos que não existe x₀ tal que f(x₀) = f⁻¹(x₀) além de x₀ = 1. De fato, digamos que x₀ = f(a) . Vamos dividir em 3 casos:

1º caso: x₀ > e.

Se x₀ > e então f(x₀) < 0. Por outro lado, f⁻¹(x₀) ∈ A e portanto f⁻¹(x₀) > 0. Logo não temos solução nesse caso.

2º caso:  a ≤ x₀ < e onde a = f⁻¹(e).

Nessa situação temos f(x₀) ≥ e. Por outro lado, como x₀ > 0 temos f⁻¹(x₀) < e. Assim também não temos solução aqui.

3° caso: 0 < x₀ < a.

Nessa situação temos 0 < f(x₀) < e ⇒ f(x₀) ∈ A. Aplicando f na equação temos

f(x₀) = f⁻¹(x₀) ⇒ f²(x₀) = x₀

onde f² denota f composta com f. Mas no intervalo (0,a) temos :

$f'(x) = \dfrac{1}{x(1-\ln x)^2} = \dfrac{f(x)^2}{x} \implies f''(x)= \dfrac{f(x)^2}{x^2}\,(2f(x) -1)$

Ou seja, f'(x) > 0 (o que implica f crescente como já havíamos visto). Além disso, notamos que f(e⁻¹) = 1/2. Logo, f''(x) < 0 se x < e⁻¹ e f''(x) > 0 caso x > e⁻¹. Isto é, o mínimo de f'(x) ocorre em x = e⁻¹. Notamos que:

$f'(e^{-1}) = \dfrac{1}{4e^{-1}} = \dfrac 4e < 1$

$f'(1) = 1$

$f(e^{-1}) = \dfrac 12$

$f(1) = 1$

Logo, se x é diferente de 1, o gráfico de f(x) está acima do gráfico de g(x) = x. Ou seja, f(x) > x. Assim como f é crescente temos f²(x) > f(x) > x. Portanto, nesse caso a única solução é x₀ = 1.

Resposta:

A única solução é x₀ = 1.