Question

b) 2
$2 \sqrt{3 - 3 \sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{8} } } }$
3 - 312 +13 + V8​

Answer 1

Olá. Bom dia.

Questão de radical duplo.

relembrando

$\sqrt{A\pm \sqrt{B} } = \sqrt{\frac{A+C}{2} } \pm \sqrt{\frac{A-C}{2 } }$

$C = \sqrt{A^2 - B}$

com A²>B

Vamos resolver de dentro para fora. Note que o primeiro radical duplo é :

$\sqrt{3 + \sqrt{8} }$

Resolvendo. Primeiro vamos achar o C e depois substituir na equação.

$C = \sqrt{3^2 - 8} = \sqrt{9 - 8} = 1$

portanto

$\sqrt{3 + \sqrt{8} } = \sqrt{\frac{3+1}{2} } + \sqrt{\frac{3-1}{2} }$

$\sqrt{3 + \sqrt{8} }$ = $\sqrt{4} + \sqrt{1 } = 2 + 1 = 3$

Substituindo na equação original

$2\sqrt{3 -3\sqrt{2+3} }$

Colocando o 3 em evidência

$2\sqrt{3(1-\sqrt{5)} }$

Nesse ponto, note que $\sqrt{1-\sqrt{5} }$ dará uma raiz negativa, ou seja, complexa..  e o enunciado não diz se é para resolver nos reais ($\mathbb{R}$).

Se for para resolver nos reais. você já pode parar aqui.  

$2\sqrt{3} \sqrt{1-\sqrt{5} }$

Se for para resolver fora do conjuntos dos reais :

Dando continuidade

$2\sqrt{3} \sqrt{1-\sqrt{5} }$  

Pare fazer por radical duplo A²>B e no caso de $\sqrt{1-\sqrt{5} }$ , isso não acontece.

então faremos o seguinte:

Vou usar um macete.

$\sqrt{1-\sqrt{5} }$ = $\sqrt{a} + \sqrt{b}$  

Elevando ao quadrado dos dois lados e agrupando os números sem raiz e os números com raiz.

$(\sqrt{1-\sqrt{5} })^2$ = $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$  

$1 - \sqrt{5} = a - 2.\sqrt{ab} + b$

$\left \{ {{a+b=1} \atop {\sqrt{5} =2\sqrt{ab} }} \right.$ (eleva ao quadrado para sumir com as raízes e isola o a.b)

$\left \{ {{a+b=1} \atop {\frac{5}{4} =ab}} \right.$

Isola o a ou b do produto e substitui na soma.

$b = \frac{5}{4a}$

$a + \frac{5}{4a} = 1$

$4a^2 -4a + 5 = 0$

Fazendo bhaskara para achar as raízes

Δ = $4^2 - 4.4.5$

Δ = 16 - 80 = -64

portanto

$x =\frac{-(-4) + \sqrt{-64} }{2.4} }$

$x = \frac{4 \pm 8i}{8 }$

$x = \frac{1 \pm 2i}{2}$

Agora Para achar o b, substitui o"a" em :

$b = \frac{5}{4a}$

$b = \frac{5}{4.(\frac{1\pm2i}{2}) }$ ( note que 4 da pra simplificar com o denominador 2)

$b = \frac{5}{2\pm4i}$

( agora é só racionalizar com o o sinal positivo e com o sinal negativo para achar racionaliza)

Deu isso tudo aí  Eu ainda acho que é nos Reais, mas de qualquer forma vc já sabe o que fazer.