Question

01) Dados os números Z1 = 1 + 3i, Z2 = -3 - i e Z3 = 5i - 4, calcule:
A) Z1 + Z2 - Z3
B) ( Z1 - Z2) - (Z3).i
C) Z2 . Z3
D) Z3 / Z1

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

I) Soma de números complexos:

Numa soma de números complexos devemos somar a parte real com a parte real e a parte imaginária com a parte imaginária, isso também serve para a subtração.

$\boxed{\boxed{ \begin{cases} z = a + bi \\ w = c + di \\ \\ z + w = a + b + bi + di \\ ou \\ z - w = a + bi - (c + di) \\ z - w = a - c + bi - di\end{cases}}}$

II) Multiplicação de números complexos:

Numa multiplicação de números complexos devemos aplicar a DISTRIBUTIVA e lembrar do fato de que i² = -1.

$\boxed{\boxed{ \begin{cases} z = a + bi \\ w = c + di \\ \\ z.w = (a + bi).(c + di) \\ z.w = a.c + a.di + c.di + bi.di\end{cases} }}$

III) Divisão de números complexos:

Numa divisão de números complexos, devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

(Conjugado = sinal oposto ao incial da parte imaginária).

$\boxed{\boxed{ \begin{cases} z = a + bi \\ w = c + di \\ \\ \frac{z}{w} = \frac{z}{w} . \frac{ \overline{w}}{ \overline{w}} \rightarrow \frac{a + bi}{c + di} . \frac{c - di}{c - di} \end{cases}}}$

O símbolo de conjugado é dado por um traço em cima do número.

IV) Cálculos:

$\large \boxed{a)z _1 + z_2 - z_3}$

$\begin{cases}z _1 = 1 + 3i \\ z _2 = - 3 - i \\ z _3 = -4 + 5i\end{cases}$

Substituindo:

$(1 + 3i )+ ( - 3 - i) - ( - 4 + 5i) \\ \\ 1 + 3i - 3 - i + 4 - 5i \\ \\ 1 + 4 - 3 + 3i - i - 5i \\ \\ 5 - 3 + 3i - 6i \\ \\ \boxed{2 - 3i} \leftarrow resposta$

$\large \boxed{b)(z_1 - z_ 2) - (z _3)i }$

Substituindo:

$(1 + 3i - ( - 3 - i)) - ( - 4 + 5i)i \\ \\ (1 + 3i + 3 + i) - (-4.i + 5i.i) \\ \\ ( 1 + 3 + 3i + i) - (-4i + 5i {}^{2} ) \\ \\ (4 + 4i) - (-4i + 5.( - 1)) \\ \\ (4 + 4i) - (-4i - 5) \\ \\ 4 + 4i + 4i + 5 \\ \\ 9 + 8i \\ \\ \boxed{9+8i} \leftarrow resposta$

$\large \boxed{c)z _2.z_3}$

Substituindo:

$( - 3 - i).( - 4 + 5i) \\ \\ ( - 3.( - 4) - 3.(5i) - i.( - 4) - i.(5i)) \\ \\ + 12 - 15i + 4i - 5i {}^{2} \\ \\ 12 - 11i - 5.( - 1) \\ \\ 12 - 11i + 5 \\ \\ \boxed{17 - 11i} \leftarrow resposta$

$\large \boxed{d) \frac{z _3 }{z _1 } }$

Substituindo:

$\frac{ - 4 + 5i}{1 + 3i} = \frac{ - 4 + 5i}{1 + 3i} . \frac{1 - 3i}{1 - 3i} \\ \\ \frac{ - 4.1 - 4.( - 3i) + 1.5i + 5i.( - 3i)}{1.1 - 1.3i + 1.31 - 3i.(3i)} \\ \\ \frac{ - 4 + 12i + 5i -15i {}^{2} }{1 - 3i + 3i - 9i {}^{2} } \\ \\ \frac{ - 4 + 17i - 15.( - 1)}{1 - 9.( - 1)} \\ \\ \frac{ - 4 + 17i + 15}{1 + 9} \\ \\ \boxed{\frac{ 11 + 17i}{10} } \leftarrow resposta$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️