Question

Se f e g são funções reais tais que $f(x) = 5x - 4$ e $f(g(x)) = x^{2} + 3x$ , obtenha a função de $g(x)$.

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Temos que:

$\begin{cases} f(x) = 5x - 4 \\ \\ f(g(x)) = x {}^{2} + 3x \\ \\ g(x) = \: ? \ \end{cases}$

Digamos que e = g(x).

Note que temos f(g(x)) = x² + 3x, mas como a gente atribuiu a letra "e" para g(x), vamos fazer a substituição de g(x) por essa letra:

$e = g(x) \\ \\ f(g(x)) = x {}^{2} + 3x \\ \boxed{ f(e) = x {}^{2} + 3x}$

Temos f(e) = x² + 3x, mas note mais uma vez que f(e) pode ser igual a:

$f(x) = 5x - 4 \\ \\ \boxed{f(e) = 5e - 4}$

Já que possuímos dois valores de f(e), eles devem ser iguais, então vamos igualá-los.

$5e - 4 = x {}^{2} + 3x \\ \\ 5e = x {}^{2} + 3x + 4 \\ \\ e = \frac{x {}^{2} + 3x + 4}{5}$

No começo da questão a gente disse que e = g(x), então vamos substituir no local de "e".

$\boxed{g(x) = \frac{x {}^{2} + 3x + 4 }{5} } \leftarrow resposta$

Vamos só confirmar.

Verificação:

$f(g(x)) = x {}^{2} + 3x \\ \\ g(x) = \frac{x {}^{2} + 3x + 4}{5} \\ \\ f \left( \begin{array}{c} \frac{x {}^{2} + 3x + 4}{5} \end{array} \right) = 5x - 4 \\ \\ f\left(\begin{array}{c} \frac{x {}^{2} + 3x + 4}{5} \end{array} \right) = \cancel5.( \frac{x {}^{2} + 3x + 4}{ \cancel5} ) - 4 \\ \\f \left( \begin{array}{c} \frac{x {}^{2} + 3x + 4}{5} \end{array} \right) = x {}^{2} + 3x + 4 - 4 \\ \\ \boxed{f\left( \begin{array}{c} \frac{x {}^{2} + 3x + 4}{5} \end{array} \right) = x {}^{2} + 3x} \\ \\ \star correto \star$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️