Question

Calcule a diagonal de um quadrado cujos vértices são os Pontos A (4,3), B (4,8), C (8,8) e D (8,3)

Answer 1

Olá, boa noite.

Para saber a medida de cada lado de tal figura geométrica, temos que calcular a distância entre os pontos AB, BC, CD e AD que equivalem a medida dos lados, após isso observamos que os valores obtidos para vermos qual figura geométrica foi formada, a partir daí podemos identificar quais fórmulas e quais métodos usaremos pra resolução.

Para calcular essas distâncias, vamos usar a fórmula:

$\boxed{d = \sqrt{(x _2 - x_1) {}^{2} + (y_2 - y_1) ^{2}} }$

Vamos começar os cálculos das distâncias na ordem que foi listado acima ↑.

I) Distância AB

$\begin{cases}A (4,3) \rightarrow x _1 = 4 \: \: \: \: \: y_1 = 3\\ B (4,8) \rightarrow x _2 = 4 \: \: \: \: y_2 = 8\end{cases}$

Substituindo:

$d_{ab} = ( \sqrt{x _2 - x_1) {}^{2} + (y_2 - y_1) {}^{2} } \\ \\ d_{ab} = \sqrt{(4 - 4) {}^{2} + (8 - 3) {}^{2} } \\ \\ d _{ab} = \sqrt{(0) {}^{2} + (5) {}^{2} } \\ \\ d _ {ab} = \sqrt{25} \\ \\ \boxed{d _{ab} = 5 \: u.c}$

II) Distância BC:

$\begin{cases}B (4,8) \rightarrow x_1 = 4 \: \: \: \: y_1 = 8 \\ C (8,8) \rightarrow x_2 = 8 \: \: \: \: \: y_2 = 8\end{cases}$

Substituindo:

$d_{bc} = ( \sqrt{x _2 - x_1) {}^{2} + (y_2 - y_1) {}^{2} } \\ \\ d_{bc} = ( \sqrt{8 -4) {}^{2} + (8 - 8) {}^{2} } \\ \\ d_{bc} = \sqrt{(4) {}^{2} + (0) {}^{2} } \\ \\ d_{bc} = \sqrt{16 } \\ \\ \boxed{d_{bc} = 4 \: \: u.c}$

III) Distância CD:

$\begin{cases}C (8,8) \rightarrow x_1 = 8 \: \: \: \: \: y_1 = 8 \\ D (8,3) \rightarrow x _2 = 8 \: \: \: \: y_ 2 = 3\end{cases}$

Substituindo:

$d_{cd} = ( \sqrt{x _2 - x_1) {}^{2} + (y_2 - y_1) {}^{2} } \\ \\ d_{cd} = ( \sqrt{8 - 8) {}^{2} + (2 - 8) {}^{2}} \\ \\ d_{cd} = ( \sqrt{0) {}^{2} + ( - 5) {}^{2} } \\ \\ d_{cd} = \sqrt{ {25}} \\ \\ \boxed{ d_{cd} = 5 \: u.c}$

IV) Distância AD:

$\begin{cases}A (4,3) \rightarrow x_1 = 4 \: \: \: \: \: y_1 = 3\\ D (8,3) \rightarrow x_2 = 8 \: \: \: \: \: y_2 = 3 \end{cases}$

Substituindo:

$d_{ad} = ( \sqrt{x _2 - x_1) {}^{2} + (y_2 - y_1) {}^{2} } \\ \\ d_{ad} = ( \sqrt{8 - 4) {}^{2} + (3 - 3) {}^{2} } \\ \\ d_{ad} = ( \sqrt{ - 4) {}^{2} + (0) {}^{2} } \\ \\ d_{ad} = \sqrt{(16)} \\ \\ \boxed{d_{ad} = 4 \: u.c}$

Com esses resultado podemos observar que trata-se de um retângulo, não poderia ser um quadrado como a questão menciona, já que as distâncias não são todas iguais e para ser um quadrado o mesmo deve possui todos os lados iguais.

Para calcular a diagonal de um retângulo, usamos a fórmula:

$\large\boxed{d = \sqrt{h {}^{2} + b {}^{2} } }$

b → base = 5 u.c

h → altura = 4 u.c

Substituindo:

$d = \sqrt{(4) {}^{2} + (5) {}^{2} } \\ \\ d = \sqrt{16 + 25} \\ \\ \boxed{d = \sqrt{41} \: u.c} \leftarrow diagonal$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️