Question

. A distância entre os pontos P(2√3,1 e
Q(0, p), com p > 0, é igual a 4√3. Obtenha
o ângulo de inclinação da reta que passa
pelos pontos P e Q.​

Answer 1

Essa questão é muito linda <3

Vamos usar aquela fórmula da distância, porque a questão já deu o tamanho da distância, d(P, Q) = 4√3, encontrar quem é esse bendito p, lembrando que ele é positivo, afinal p > 0, e descobrir o ângulo de inclinação desse reta que passa por esses dois pontos, show.

Seguinte, xp = 2√3; yp = 1; xq = 0; yq = p

Temos também, substituindo tudo:

d(P, Q) = $\sqrt{(xq - xp)^{2} + (yq - yp)^{2}} = \sqrt{(0 - 2\sqrt{3} )^{2} + (p - 1)^{2}} = \sqrt{(-2\sqrt{3} )^{2} + (p - 1)^{2}} = \sqrt{(-2)^{2}.(\sqrt{3})^{2} + (p - 1)^{2}} = \sqrt{4.3 + (p - 1)^{2}} = \sqrt{12 + (p - 1)^{2}}$

Sabemos que d(P, Q) = 4√3, assim:

4√3 = $\sqrt{12 + (p - 1)^{2}}$ (elevando tudo ao quadrado, com a finalidade de eliminar a raiz)

(4√3)² = ($\sqrt{12 + (p - 1)^{2}$)²

4² · (√3)² = 12 + (p - 1)²

16 · 3 - 12 = (p - 1)²

(p - 1)² = 48 - 12

(p - 1)² = 36 (passando a raiz para o outro lado, nesse caso, vamos considerar apenas o sinal positivo, lembrando que p > 0 conforme a questão disse)

$\sqrt{(p - 1)^{2} } = \sqrt{36} => p - 1 = 6 => p = 6 + 1 = 7$

Assim: P (2√3, 1), Q (0, 7).

Com isso já podemos calcular o ângulo de inclinação que chamarei aqui de "α".

Logo,

coeficiente angular = m = tg α = $\frac{yq - yp}{xq - xp} = \frac{7 - 1}{0 - 2\sqrt{3} } = -\frac{6}{2\sqrt{3}} = -\frac{6\sqrt{3}}{2.3} = -\frac{6\sqrt{3}}{6} = - \sqrt{3}$

Portanto,

α = arctg (- $\sqrt{3}$) = - 60º = 180º - 60º = 120º.

∴ O ângulo de inclinação da reta que passa

pelos pontos P e Q é de 120º.