Question

z = $\frac{k+1}{k-1}$, k ∈ IR

Determine o valor de k, de modo a que z seja um número imaginário puro.

Answer 1

Olá. Bom dia.

Para que z seja imaginário puro, a parte real tem que ser 0

[ Re(Z) =0 ]

Sabendo disso, vamos para nosso Z

$Z = \frac{K+I}{K-I}$

( vamos racionalizar )

$Z = \frac{K+I}{K-I}.\frac{K+I}{K+I}$  

Note que no denominador é uma diferença de quadrados

(a-b)(a+b) = a² -b², no caso o a = K e b = I. Então já fazendo direto.

$Z = \frac{(K+I)^2}{K^2-I^2 }$

$Z = \frac{K^2+2K.I+I^2 }{K^2 -I^2}$

i² = -1, então substituindo

$Z = \frac{K^2+2K.I - 1 }{k^2-(-1) }$

$Z = \frac{K^2 - 1 + 2K.I}{K^2+1}$

Note que eu posso deparar as frações. Então, Separando a parte real da parte imaginária

Real : não tem i

imaginária : tem i

$Z = \frac{K^2-1}{K^2+1} +\frac{2K.I }{K^2+1 }$

Parte Real : $\frac{K^2-1}{K^2+1}$

imaginário puro, a parte real tem que ser 0.

Igualando a 0

$\frac{K^2-1}{K^2+1} = 0$

( note que o denominador sempre dará maior que 0, pois tem um K², ou seja, para qualquer valor  de K negativo ao  elevar ao quadrado dará positivo )

Então ficamos só com o seguinte :

$k^2 - 1 = 0$

$k^2 = 1$

$k = \pm 1$

( Pronto. Para que Z seja imaginário puro K = $\pm$ 1 )