Question

Sabendo que sen x = 3/7, para π/2 <x<π, determine:
a)cos x
b)tg x
c)cossec x
d)sec x
e)cotg x
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Answer 1

Vamos fazer o exercício por dois métodos diferentes.

Antes, vamos notar uma informação importante do enunciado: "para π/2 <x<π"

Essa informação nos diz que o angulo "x" está no 2° quadrante, ou seja, entre 90° (π/2) e 180° (π).

No 2° quadrante, temos que o sinal da função seno é positivo e das funções cosseno e tangente são negativos.

$\begin{array}{c|c|c|c|c}\boxed{_{Funcao}\backslash^{Quadrante}}&1^oquadrante&2^oquadrante&3^oquadrante&4^oquadrante\\Seno&+&+&-&-\\Cosseno&+&-&-&+\\Tangente&+&-&+&-\\\end{array}\right$

1° Método: Utilização da identidade trigonométrica

a)

Para calcular o cos(x) vamos utilizar a identidade sen²x + cos²x = 1

$sen^2x~+~cos^2x~=~1\\\\\\\left(\dfrac{3}{7}\right)^2~+~cos^2x~=~1\\\\\\\dfrac{9}{49}~+~cos^2x~=~1\\\\\\cos^2x~=~1-\dfrac{9}{49}\\\\\\cos^2x~=~\dfrac{40}{49}\\\\\\cos(x)~=~\pm\sqrt{\dfrac{40}{49}}\\\\\\Como~sabemos~que~x~esta~no~2^oquadrante,~podemos~considerar~apenas\\o~sinal~positivo\\\\\\cos(x)~=~+\sqrt{\dfrac{40}{49}}\\\\\\cos(x)~=~\dfrac{\sqrt{4\cdot10}}{\sqrt{49}}\\\\\\\boxed{cos(x)~=~\dfrac{2\sqrt{10}}{7}}$

b)

$tg(x)~=~\dfrac{sen(x)}{cos(x)}\\\\\\tg(x)~=~\dfrac{\frac{3}{7}}{\frac{2\sqrt{10}}{7}}\\\\\\tg(x)~=~\dfrac{3}{2\sqrt{10}}\\\\\\tg(x)~=~\dfrac{3}{2\sqrt{10}}\cdot\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\\\\\\tg(x)~=~\dfrac{3\sqrt{10}}{2\cdot10}\\\\\\\boxed{tg(x)~=~\dfrac{3\sqrt{10}}{20}}$

c)

$cossec(x)~=~\dfrac{1}{sen(x)}\\\\\\cossec(x)~=~\dfrac{1}{\frac{3}{7}}\\\\\\\boxed{cossec(x)~=~\dfrac{7}{3}}$

d)

$sec(x)~=~\dfrac{1}{cos(x)}\\\\\\sec(x)~=~\dfrac{1}{\frac{2\sqrt{10}}{7}}\\\\\\sec(x)~=~\dfrac{7}{2\sqrt{10}}\\\\\\sec(x)~=~\dfrac{7}{2\sqrt{10}}\cdot\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\\\\\\sec(x)~=~\dfrac{7\sqrt{10}}{2\cdot10}\\\\\\\boxed{sec(x)~=~\dfrac{7\sqrt{10}}{20}}$

e)

$cotg(x)~=~\dfrac{cos(x)}{sen(x)}\\\\\\cotg(x)~=~\dfrac{\frac{2\sqrt{10}}{7}}{\frac{3}{7}}\\\\\\\boxed{cotg(x)~=~\dfrac{2\sqrt{10}}{3}}$

2° Método: Utilização as relações trigonométricas no triangulo retângulo.

Sabemos que, para um angulo "x" no triangulo retângulo, as relações de seno, cosseno e tangente são dadas por:

$sen(x)~=~\dfrac{cat.~oposto}{hipotenusa}~~\\\\cos(x)~=~\dfrac{cat.~adjacente}{hipotenusa}\\\\tg(x)~=~\dfrac{cat.~oposto}{cat.~adjacente}$

Sendo assim, vamos "comparar" o seno dado (3/7) com a relação do seno de um angulo "x" no triangulo retângulo:

$\dfrac{3}{7}~=~\dfrac{cat.~oposto}{hipotenusa}$

Podemos ter, infinitas soluções pra esta equação, uma dela é o cateto oposto valendo 3 e a hipotenusa valendo 7.

Considerando esta solução podemos construir um triangulo retângulo como é mostrado na figura anexada.

Perceba que nos falta calcular o cateto adjacente, fazemos isso utilizando o teorema de Pitágoras:

$hipotenusa^2~=~(cat~oposto)^2~+~(cat.~adjacente)^2\\\\\\7^2~=~3^2~+~(cat.~adjacente)^2\\\\\\(cat.~adjacente)^2~=~49-9\\\\\\(cat.~adjacente)^2~=~40\\\\\\cat.~adjacente~=~\sqrt{40}\\\\\\\boxed{cat.~adjacente~=~2\sqrt{10}}$

Utilizando as relações mencionadas anteriormente, temos:

$cos(x)~=~\dfrac{cat.~adjacente}{hipotenusa}\\\\\\\boxed{cos(x)~=~\dfrac{2\sqrt{10}}{7}}\\\\\\~\\tg(x)~=\dfrac{cat.~oposto}{cat.~adjacente}\\\\\\tg(x)~=~\dfrac{3}{2\sqrt{10}}\\\\\\\boxed{tg(x)~=~\dfrac{3\sqrt{10}}{20}}$

As respostas para a cossec(x), sec(x) e cotg(x) podem ser calculadas como feito no 1° método ou pelas relações:

$cossec(x)~=~\dfrac{hipotenusa}{cat.~oposto}\\\\sec(x)~=~\dfrac{hipotenusa}{cat.~adjacente}\\\\cotg(x)~=~\dfrac{cat.~adjacente}{cat.~oposto}$