Question

os valores de k para os quais a distância do ponto P(2, k) à reta (r) 3x - 4y + 1 = 0 seja igual a 1 são:
a) 2 e 3
b) 2 e 1/2
c) 1/2 e √5
d) 1/2 e 3
e)-1/2 e 2

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Temos que a fórmula da distância entre o ponto e reta é dado por:

$\boxed{ d= \frac{ |ax _0 + by_0 + c | }{ \sqrt{{a}^{2} + b {}^{2} } } }$

Os elementos Xo e Yo é o valor da abscissa e ordenada do ponto P(2,k).

$\boxed{P(2,k) \rightarrow xo = 2 \: \: \: yo = k}$

Os elementos a, b e c são os valores dos coeficientes da equação geral 3x - 4y + 1 = 0.

$3x - 4y + 1 = 0 \\ \begin{cases}a = 3 \\ b = - 4 \\ c = 1\end{cases}$

Tendo organizado tudo, vamos substituir na fórmula:

$d= \frac{ | ax _0 + by_0 + c | }{ \sqrt{{a}^{2} + b {}^{2}}} \\ \\ d = \frac{ |3.2 + ( - 4).k + 1| }{ \sqrt{3 { }^{2} + 4 {}^{2} } } \\ \\ d = \frac{ |6 - 4k + 1| }{ \sqrt{9 + 16} } \\ \\ d = \frac{ | - 4k + 7 | }{5}$

A questão fala que a distância é igual a 1, então vamos substituir:

$1 = \frac{ | - 4k + 7| }{5} \\ \\ 5.1 = | - 4k + 7| \\ 5 = | - 4k + 7|$

Um módulo possui valor (+) ou (-), então cancele o módulo e acrescente a 5 o sinal de ±.

$\pm5 = - 4k + 7$

Teremos que fazer duas equações, uma com +5 e outra com -5.

$i) - 4k + 7 = 5 \\ - 4k = 5 - 7 \\ - 4k = - 2 \\ k = \frac{ - 2}{ - 4} \\ \boxed{k = \frac{1}{2} }$

$ii) - 4k + 7 = - 5 \\ - 4k = - 5 - 7 \\ - 4k = - 12 \\ k = \frac{ - 12}{ - 4} \\ \boxed{k = 3}$

Portanto o "k" pode assumir dois valores, 3 ou 1/2.

Letra d)

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

Answer 2

Resposta:

d) 1/2 e 3

Explicação passo a passo: