Question

Para os Gênios  Por favor me Ajudem a resolver este exercicio do 20 pts !!!

Obs: as questões estão na imagem

Answer 1

Boa tarde Edijp!

$1)~Encontres~as~~equac\~oes~~ reduzidas~~ das ~~elipses ~~abaixo.$
A)
Centro=C(9,6)

Semieixo maior=a=5

Semieixo menor=b=3

Observando a figura nota-se que a elipse esta fora do centro,logo sua formula é:

$\frac{(X-h)^{2} }{a^{2} }+ \frac{(y-k)^{2} }{b^{2} }=1$

Forma reduzida da elipse quando igualada a 1.

$\frac{(X-6)^{2} }{25 }+ \frac{(y-9)^{2} }{9}=1$


B)
Veja que no caso B a elipse esta com o eixo maior paralelo a o eixo y e com o centro na origem do plano cartesiano.

Logo sua forma reduzida é do tipo:

$\frac{ X^{2}}{b^{2} }+ \frac{Y}{a^{2} }=1$

Centro=c(0,0)

Semieixo menor= a=4

Semieixo maior= b=6

Substtiuindo os valores fica.

$\frac{ X^{2}}{36}+ \frac{Y}{16 }=1$


2) Detremine  as coordenadas dos focos da elipse de equação

 $9 x^{2} +25y^{2}=225$

Pela equação nota-se que a elipse esta com o eixo maior paralela ao eixo da abscissa,logo o seu centro esta na origem.Dividindo tudo por 225 encontramos o semieixo maior e o semieixo menor,para poder determinar as coordenadas do foco.

$\frac{9 x^{2} }{225}+ \frac{25y^{2} }{225}= \frac{225}{225}$

$\frac{ x^{2} }{25}+ \frac{y^{2} }{9}= 1$

$a^{2}=25~ \Rightarrow~a= \sqrt{25} \Rightarrow a= 5$

$b^{2}=9 \Rightarrow b= \sqrt{9} \Rightarrow b=3$

Fazendo o teorema de Pitágora para encontrar o valor de c que é o foco.

$a ^{2} =b^{2}+c^{2}$

$5 ^{2} =3^{2}+c^{2}$

$25=9+c^{2}$

$25-9=+c^{2}$

$16=c^{2}$

$C= \sqrt{16}$

$c=4$

Como a elipse é simetrica logo seus focos são.

$F _{1} (-4,0)$

$F _{2} (4,0)$


3) Determine a equação reduzida da elipse conhecendo.
A) Os focos F1(3,0) F2(-3,0) e o comprimento do eixo maior 8.

Eixo maior a logo dividindo por dois encontra o semieixo maior.

$2a=8$

$a= \frac{8}{2}$

$a=4$

C é a coordenada do foco fazendo 

$2c=6$

$c= \frac{6}{2}$

$c=3$

Vamos aplicar Pitagoras para encontrar o valor de b

$4^{2} =b^{2} +3^{2}$

$16 =b^{2} +9$

$16-9=b^{2}$

$b^{2}=7$

Logo a equação reduzida é 

$\frac{ x^{2} }{16} + \frac{y^{2} }{7} =1$


$B) ~~Os ~~vertices~~ A _{1} (5,0)~e~A_{2}(-5,0)~e~a~~ excentricidade e= \frac{ \sqrt{3} }{3}$

Sendo as coordenadas do vertices (5,0) logo o semieixo é

a=5
$Sendo~~ a ~~excentricidae =e= \frac{c}{a}~~vamos ~~determinar~~ b$

$\frac{c}{5}= \frac{ \sqrt{3} }{3}$

$3c= 5\sqrt{3}$

$c= \frac{5\sqrt{3} }{3}$

Aplicando Pitagoras para encontrar b.

$5^{2}=( \frac{(5 \sqrt{3} }{3})^{2} +b^{2}$

$25= \frac{25.3}{9}+b^{2}$

$25= \frac{25}{3}+b^{2}$

$75=25+3b^{2}$

$3b^{2}=50$

$b^{2}= \frac{5 \sqrt{2} }{3}$

$\frac{ x^{2} }{25}+ \frac{y^{2} }{ \frac{5 \sqrt{2} }{3} } =1$


4) O eixo maior de uma elipse mede 20 e a excentricidade 0,8.Sabendo que a elipse tem seu eixo menor paralelo ao eixo da abscissa e seu centro é o ponto (1,-5)

A) Obter a medida do eixo menor.

Veja que a elipse esta fora da origem e seu eixo maior esta paralelo ao eixo da ordenada,logo o eixo meno é a.

Então

$2a=20$

$a= \frac{20}{2}$

$a=10$

$Excentricidade= 0,8$

$\frac{c}{a}=0,8$

Fazendo

$\frac{c}{10}=0,8$

$c=8$

Por Pitagoras.

$10 x^{2} =8^{2} +b^{2}$

$100=64+b^{2}$

$100-64=b^{2}$

$36=b^{2}$

$b= \sqrt{36}$

$b=6$

Eixo menor b=6

B) Equação da elipse.

$\frac{( x-1) ^{2} }{36}+ \frac{(y+5)^{2} }{100}=1$


5) A orbita da terra a volta do sol é uma elipse quase circular.O sol é um dos foco dessa elipse e o eixo maior e o eixo menor medem 299 329 800  299 288 058 Km,respectivamente.Qual é a distancia maxima da terra ao sol.
Veja que nesse problema ele pede o valor do semieixo maior e menor e a distacia focal,ou seja a distancia da terra ao sol que é um dos seus focos.

$Fazendo$

$2a=299329800$

$a= \frac{299329800}{2}$

$a=149664900$

$2b=299228058$

$b= \frac{299228058}{2}$

$b=149644029$

Vou deixar indicado e você calcula 

$a ^{2}=b ^{2} +c ^{2}$

$c^{2}=a^{2}-b^{2}$

$c=\sqrt{ a^{2}-b^{2}}$

$a+c=............Km$

Boa tarde!
Bons estudos!