Question

Alguem pode me ajudar: obtenha as soluções da equação 2x^4-4x^3-26^2+28x+48=0, que admite -1 e -3 como soluções.

Answer 1

Resposta:

-1, -3, 2 e 4

Explicação passo-a-passo:

Há 3 maneiras de resolver esse problema, porém eu irei explicar apenas duas

A primeira maneira é utilizando duas das Relações de Girard para equações do 4º grau: $r_1+r_2+r_3+r_4=-\frac{b}{a}$ e $r_1*r_2*r_3*r_4=\frac{e}{a}$ com isso teremos:  $-1-3+x+y=-\frac{-4}{2}\\ -4+x+y=2\\x+y=6\\x=6-y$ e $-1*-3*x*y=\frac{48}{2} \\3xy=24\\xy=8$

$xy=8\\y*(6-y)=8\\6y-y^2=8\\y_1=4\\y_2=2$  $x=(6-y)\\x=6-4\\x=2$      $x=6-y\\x=6-2\\x=4$

A segunda maneira gira em torno do fato que se as soluções forem números inteiros, elas SEMPRE serão divisoras do termo independente (nesse caso o 48), os divisores de 48 são: -48; -16; -12; -8; -6; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 48, como você viu -1 e -3 são duas soluções, e também são divisoras de 48 então já podemos elimina-las da lista, nos sobra apenas: -48; -16; -12; -8; -6; -4; -2; 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 48, vamos começar pelos números mais fáceis (-4; -2; 1; 2; 3 e 4)

tentando com o número 1 teremos: $2-4-26+28+48=0\\30-30+48=0\\48=0$isso nos mostra que o 1 não é uma das soluções.

tentando com o 2 teremos: $2*2^4-4*2^3-26*2^2+28*2+48=0\\32-32-104+56+48=0\\0-104+104=0\\0=0$chegamos na nossa terceira solução: 2

nos sobra agora apenas -4; -2; 3 e 4

vamos tentar com o número 3: $2*3^4-4*3^3-26*3^2+28*3+48=0\\162-108-234+84+48=0\\-48=0$

ou seja, 3 não é uma solução

com o 4 teremos: $2*4^4-4*4^3-26*4^2+28*4+48=0\\512-256-416+112+48=0\\256+112+48-416=0\\416-416=0\\0=0$chegamos na nossa última solução: 4