Question

Lança-se um dado viciado, de forma que cada número par sai o triplo de
vezes que cada número ímpar.
a) qual a probabilidade de ocorrer um número ímpar? E um número par?
b) Qual a probabilidade de ocorrer um número menor que 4?
c) Qual a probabilidade de que saia um número múltiplo de 2 ou 3?

Answer 1

Num lançamento de um dado normal teríamos:

K + K + K + K + K + K = 1 ..ou seja a soma das probabilidades individuais seria = 1

Donde resulta a probabilidade individual de:
 
K + K + K + K + K + K = 1

6K = 1

K = 1/6

até aqui tudo bem

...mas sabemos que cada número par tem uma probabilidade 3 vezes maior de saída do que um número ímpar ...ou inversamente a probabilidade de sair um número ímpar é de 1/3 de um número par.

Assim

Questão - a)

=> Probabilidade de ser um número par

Sabemos que:

K + K + K + K + K + K = 1

Donde resulta ..corrigindo os "K" impares para "K/3" resulta

K + K + K + K/3 + K/3 + K/3 = 1

mdc = 3

3K + 3K + 3K + K + K + K = 3

12K = 3

K = 3/12

K = 1/4  <----- Probabilidade de saída de cada número par

...Logo a probabilidade de sair um par = 3 . (1/4) = 3/4 <--- Probabilidade de ser PAR


=> Probabilidade de sair um número ímpar

Sabemos que a probabilidade de sair um ímpar é 1/3 da de sair um número par, assim

P(ímpar) = P(par)/3 = ((1/4)/(3)) = 1/12

como são 3 números ímpares então temos: 3 . 1/12 = 3/12 = 1/4

A probabilidade de sair um ímpar é de 1/4

Podíamos ter efetuado este cáculo pelo conceito de probabilidade complementar ou conjunto complementar

P(Total) = P(par) + P(ímpar)

..como P(Total) = 1 ..e  P(par) = 3/4 ..então

1 = 3/4 + P(ímpar)

1 - 3/4 = P(ímpar)

1/4 = P(ímpar)


Questão - b)

Números menores do que 4 = 1, 2 e 3 ...2 ímpares + 1 par

Donde a probabilidade (Px<4) será dada por:

P(x<4) = P(ímpar) + P(par) + P(ímpar)

P(x<4) = (1/12) + (1/4) + (1/12)

P(x<4) = (2/12) + (1/4)

P(x<4) = (1/6) + (1/4)

mdc = 24

P(x4) = (4/24) + (6/24)

P(x<4) = 10/24

P(x<4) = 5/12 <---- Probabilidade de ocorrer um número menor do que 4


Questão - c) 

Múltiplos de 2 e de 3 = 2, 3, 4 e 6

Donde a probabilidade (P 2 ≤ M ≤ 3) será dada por:

P(2 ≤ M ≤ 3) = P(par) + P(ímpar) + P(par) + P(par)

P(2 ≤ M ≤ 3) = (1/4) + (1/12) + (1/4) + (1/4)

P(2 ≤ M ≤ 3) = (3/4) + (1/12)

mdc = 12

P(2 ≤ M ≤ 3) = (9/12) + (1/12)

P(2 ≤ M ≤ 3) = 10/12

P(2 ≤ M ≤ 3) = 5/6 <--- Probabilidade de sair um múltiplo de 2 ou de 3

Espero ter ajudado