Uma grande caixa deve ser construída cortando-se quadrados iguais dos quatro cantos de uma folha retangular de zinco, de 2 m por 3 m, dobrando-se os quatro lados (abas laterais) para cima e soldando-se as arestas verticais que ficaram justapostas.
(1) Assuma que o quadrado a ser recortado tem lado x, e mostre que o volume V da caixa, como função da variável x, é dado pela expressão
V = 6x - 10x2 + 4x3
(2) Qual é o intervalo de valores de x para o qual o volume V está definido?
Escreva a resposta na forma: o volume V está definido para a < x < b.
(3) Ao plotar o gráfico do volume V em função do comprimento x, obtém-se uma curva com a forma da figura abaixo.
gráfico
Use o GeoGebra para determinar um valor aproximado do valor máximo do volume V.
Respostas
1) O volume V da caixa, como função da variável x, é dado pela expressão V = 6x - 10x^2 + 4x3, pois:
- A medida de uma das arestas da base da caixa é de: a1 = 2 - 2x
- A medida da outra aresta da base da caixa é de : b2 = 3 - 2x
- A altura da caixa é de h = x
O volume da caixa obedece a seguinte expressão:
V = a1 . a2 . h
V(x) = (2 - 2x) . (3 - 2x) . x
V(x) = (6 - 4x - 6x + 4x²) . x
V(x) = (6 - 10x + 4x²) . x
V(x) = 6x - 10x² + 4x³
(2) O intervalo de valores de x para o qual o volume V está definido, deve que ser maior que zero, caso contrário não haverá nenhuma aresta vertical, nem altura e nem volume.
a1 = 2 - 2x
a1= 2 - 2 . 1
a1= 2 - 2
a1= 0
Portanto,
0 < x < 1
(3) O valor máximo de V é atingido quando sua derivada for igual a zero.
V(x) = 6x - 10x² + 4x³
V'(x) = 6 - 20x + 12x²
12x² - 20x + 6 = 0
Bhaskara:
x = [-b ± √(b² - 4 * a * c)] / (2 * a)
x = [20 ± √((-20)^2 - 4 * 12 * 6)] / (2 * 12)
x = (20 ± √112) / 24
x = (20 ± 10,583) / 24
x' = (20 + 10,583) / 24
x'= 30,583 / 24
x'= 1,27 m não está entre 0 e 1 , vamos ao x''
x" = (20 - 10,583) / 24
x''= 9,417 / 24
x''= 0,39 m
ENtão, teremos que considerar que x = 0,39 m etros
seguindo:
V = 6x - 10x^2 + 4x^3
resolvendo via Bhaskara:
V = 6 . 0,39 - 10. 0,39^2 + 4 . 0,39^3
V = 2,34 - 1,52 + 0,24
V = 1,06 m³