Question

Prove por indução que 10(elevado a n+1) + 4.10(elevado a n) +4 é um múltiplo de 6, para todo n≥1

Answer 1

$10^{n+1} + 4.10^n + 4 = 6.q$ , ∀ n ≥ 1  ( 6.q pra simbolizar que é múltiplo de 6 )

Vamos fazer para n = 1 e n = 2

n = 1

$10^2 + 4.10^1 + 4 =$ $100 + 40 + 4$ = $144$ ( deu múltiplo de 6 )

n = 2

$10^3 + 4.10^2 + 4 = 1000 + 400 + 4$ = $1404$ ( deu múltiplo de 6 )

Então, tendo nossa tese para

( n = K )

$10^{K+1} + 4.10^k + 4$ = 6.q ( é múltiplo de de 6)

Nossa hipótese  para ( n = k + 1 )

Vamos provar que funciona para n = K + 1

$10^{k+1+1} + 4 .10^{k+1} + 4$  

$10^{k+2} + 4.10^{k+1} + 4$  

$10^{k+1}.10^1 + 4 .10^{k} .10^1 + 40 - 36$

(eu escrevi dessa forma para que possamos colocar o 10 em evidência )

$10.(10^{k+1} + 4.10^{k} + 4) - 36$  

note que o termo dentro dos parênteses é múltiplo de 6, então vou substituir por 6.q )

$10(6q) - 36$

$60.q - 36$ ( coloca o 6 em vidência )

$6.(10.q - 6 )$ ( é múltiplo de 6 )  

Então está provado que funciona para $n \geq 1$ e para $n \geq k + 1$