12. Seja P(x) um polinômio divisivel por (x - 2). Se dividirmos
o polinômio P(x) por (x²+2x), obteremos como quociente
o polinômio (x²-2) e resto igual a R(x). Se R(3) = 6, então,
a soma de todos os coeficientes de P(x) é igual a:
a) –38
b) -41
c) 91
d) 79
Respostas
Explicação passo-a-passo:
Calculando:
P(x) ÷ (x²+2x) = (x² -2 ) + R(x)
P(x) =(x² - 2)(x² + 2x) + R(x)
com
R(x) = ax + b
então :
P(x)= x⁴ + 2x³-2x²-4x + ax + b
Se P(x) um polinômio divisível por (x - 2)
Pelo teorema do resto x = 2
P(2) = 0
P(2) = (2)⁴+2(2)³-2(2)²-4(2)+2a+b
P(2)= 16 + 2(8) -2(4) - 8 + 2a + b
P(2) = 16+16 - 8 - 8 + 2a + b
P(2)= 16 + 2a + b
Se P(2)=0
16+2a+b=0
2a + b = -16
Sendo
R(3)=6
3a + b = 6
Sistema pela adição ( multiplica ( I ) por ( - 1 )
2a + b = -16 ( I )
3a + b = 6 ( II )
-2a - b = 16
3a + b = 6
---------------
a = 22
Sendo
3a +b =6
3(22) + b = 6
66 + b = 6
b = 6 - 66
b= -60
Substituindo a e b em
P(x)= x⁴ + 2x³-2x²-4x + ax + b
P( x ) = x⁴ + 2x³ -2x²- 4x + 22x -60
P ( x ) = x⁴ + 2x³ - 2x² + 18x - 60
Somando os coeficientes
1 + 2 - 2 + 18 - 60=
+21 - 62 = - 41
→ soma dos coeficientes = - 41
Letra B
Se R(3) = 6, então a soma de todos os coeficientes de P(x) será: -41 - letra b).
Vamos aos dados/resoluções:
A equação polinomial ou equação algébrica de grau n acaba sendo na variável x e C, onde toda equação poderá ser reduzida a forma:
AnX^n + An-1x^n-1 + An-2X^n-1 + ... a1x^1 + a0 = 0
E nessa estrutura da equação polinomial, teremos:
- Onde An será diferente de 0;
- An, An-1 ..... a1 e a0 são números complexos chamados coeficientes;
- n pertence ao conjunto dos números naturais;
Logo teremos que executando matematicamente:
P(x) / (x²+2x) = (x² -2 ) + R(x)
P(x) =(x² - 2)(x² + 2x) + R(x)
R(x) = ax + b ;
P(x) = x⁴ + 2x³-2x²-4x + ax + b.
Agora se P(x) for um polinômio divisível por (x-2) e executando o teorema do resto x = 2:
P(2) = 0
P(2) = (2)⁴+ 2(2)³ - 2(2)² - 4(2) + 2a + b
P(2)= 16 + 2(8) -2(4) - 8 + 2a + b
P(2) = 16 + 16 - 8 - 8 + 2a + b
P(2)= 16 + 2a + b ;
Logo:
Se P(2) = 0
16 + 2a + b = 0
2a + b = -16
R(3) = 6
3a + b = 6;
Utilizando o sistema de adição, teremos:
2a + b = -16 ( I )
3a + b = 6 ( II )
-2a - b = 16
3a + b = 6
PS: I multiplica -1.
a = 22
Sendo
3a + b = 6
3 (22) + b = 6
66 + b = 6
b = 6 - 66
b = -60
E quando substituímos a e b em:
P(x)= x⁴ + 2x³ - 2x² - 4x + ax + b
P( x ) = x⁴ + 2x³ -2x²- 4x + 22x -60
P ( x ) = x⁴ + 2x³ - 2x² + 18x - 60 ;
E quando somamos os coeficientes, teremos:
1 + 2 - 2 + 18 - 60=
+21 - 62 = - 41 ou seja, a soma dos coeficientes é -41.
Para saber mais sobre o assunto:
https://brainly.com.br/tarefa/28869246
Espero ter ajudado nos estudos e beba água :)
