Question

seria possivel existir um planeta a uma distancia R-10 u.a .do sol com periodo T 1 0 anos? porque?

Answer 1

Pela 3ª Lei de Kepler, temos:

$\frac{ T^{2} }{ R^{3} } =\frac{4 pi^{2} }{GM}$

A constante gravitacional G é dada por $G=6,67* 10^{-11} m^{3} /( kg*s^{2})$
M se refere à massa do sol dada por $M=1,99* 10^{30} kg$
R se refere ao raio da órbita e T se refere ao período.

Para afirmamos se é possivel ou nao existir um planeta à distancia de 10 U.A do Sol com o período de 10 anos, basta usarmos a 3ª Lei de Kepler para encontrar o período de órbita de um planeta à distancia de 10 UA e verificar se essa medida é equivalente à 10 anos.

1 UA = 150 milhões de km = 150 bilhões de metros, logo:
10 UA = 1,5 trilhões de metros = $1,5* 10^{12} m$

Logo, isolando o período na lei de Kepler e substituindo R por $1,5* 10^{12} m$, M por $1,99* 10^{30} kg$ e G por $6,67* 10^{-11} m^{3} /( kg*s^{2})$, temos:

$T= \sqrt{ \frac{4 pi^{2} R^{3} }{GM} }$
$T=2piR \sqrt{ \frac{R}{GM} }$

Usando uma calculadora, temos:

$T=10^{9} s$

Vamos converter 10 anos para segundos:

10 anos = 120 meses = 3650 dias = 87600 horas = 315360000s

Logo é impossivel um planeta orbitar o Sol com raio de órbita igual a 10u.a e T = 10 anos

Obs: pi = π