Question

De três exemplos de como calcular a PA. ME AJUDEM PFV GENTE N SEI D NADA PQ A PROFESSORA N ESTAVA NESSE CONTEUDO ANTES DA QUARENTENA.

Answer 1

Eu vou te mostrar um insight que vai permitir você responder várias questões de P.A.

1º aprenda a expressar qualquer termo em razão do que se deseja. Para isso considere a seguinte progressão genérica de 6 termos

$(a_{1}, a_{2},a_{3}, a_{4}, a_{5},a_{6})$

Para ser uma PA cada termo a partir do segundo deverá ser igual ao termo anterior somado com razão

$\mathsf{a_{2}=a_{1}+r}$ (1)

Perceba também que

$\mathsf{a_{3}=a_{2}+r} (2)$

Vamos expressar o terceiro termo em função do primeiro termo.

Substituindo (1) em (2) temos

$\mathsf{a_{3}=a_{2}+r=a_{1}+r+r\to~a_{3}=a_{1}+2r}$

Daqui vem uma Equação muito importante

$a_{3}=a_{1}+2r$ a leitura aqui é a seguinte :

O terceiro termo é igual ao primeiro termo mais 2 razões. Se quisermos generalizar isso para qualquer teremos o seguinte

$a_{n}=a_{p}+(n-p).r$

p representa o termo em que desejamos representar

Com esse resultado podemos expressar o termo desejado em função do que quisermos. Por exemplo expressar o centésimo termo em função do vigésimo. para isso basta perceber que

$a_{100}=a_{20}+(100-20)r\\a_{100}=a_{20}+80r$

Ou seja o centésimo termo é igual ao vigésimo termo mais 80 razões.

Vamos ver um problema prático.

Qual é o centésimo número real par ?

Solução :

(0,2,4,6...)

Perceba que exercício solicita o termo de posição $a_{100}$. Vamos calcular a razão:

$r=a _{2}-a_{1}=4-2=2$

Aqui podemos expressar $a_{100}$ em função do termo que quisermos.Expressemos em função do terceiro termo.

$a_{100}=a_{3}+(100-3).r\\a_{100}=a_{3}+97r$

$a_{100}=4+97.2\\a_{100}=4+194=198$

2º Em algumas situações é preciso representar

2º Em algumas situações é preciso representara P. A pelo termo central.

Quando for 3 termos: x-r, x, x+r.

Quando for 5 termos: x-2r, x-r, x, x+r,x+2r.

Vamos ver um exemplo.

Obtenha uma P. A de 3 termos tais que sua soma seja 24 e seu produto seja 440.

Solução: representando por x o termo central teremos que

(x-r, x, x+r) é a P.A procurada. Do enunciado temos o seguinte.

$\mathsf{x-r+x+x+r=24}\\\mathsf{3x=24}\\\mathsf{x=\dfrac{24}{3}}\\\mathsf{x=8}$

$\mathsf{(x-r).x.(x+r)=440}\\\mathsf{(8-r).8.(8+r)=440}\\\mathsf{(8-r)(8+r)=\dfrac{440}{8}}\\\mathsf{64-{r}^{2}=55}$

$\mathsf{{r}^{2}=64-55}\\\mathsf{{r}^{2}=9}\\\mathsf{r=\pm\sqrt{9}}\\\mathsf{r=\pm3}]$

Temos duas possibilidades :

Para r=-3 e x=8 temos

(11,8,5)✅

Para r=3 e x=8

(5,8,11)✅.

3º saber interpolar ou inserir meios aritméticos entre dois números de modo que se tenha uma P.A.

Intercale 4 meios aritméticos entre 20 e 60.

Solução:

Aqui é usual saber expressar o 6º termo em função do primeiro termo.

$(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6})$

$a_{1}=20\\a_{6}=60\\a_{6}=a_{1}+5r\\60=20+5r\\5r=60-20$

$r=\dfrac{40}{5}=8$

(20,28,36,44,52,60)