Question

Na progressão geométrica,

$P.G.(a_1,...,4.096)$

onde a razão é 4 e a soma é $\dfrac{1.048.575}{192}$

podemos então dizer que esta P.G. possui número de termos e primeiro termo iguais a:

(exigência: Use as propriedades de logaritmos)

Answer 1

Lembremo-nos das fórmulas da PG:

$\boxed{a_n=a_1.q^{n-1}}\\ \\ \boxed{S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}}$

Agora vamos adaptar as fórmulas para os dados da tarefa em questão:

Da primeira fórmula:

$a_1.4^{n-1}=4096\\ \\ \boxed{a_1=\frac{4096}{4^{n-1}}=\frac{4096}{\frac{4^n}{4}}=\frac{16384}{4^n}} \ \ \ (a)$

Da segunda fórmula:

$\frac{a_1(4^n-1)}{3}=\frac{1048575}{192}\\ \\ a_1(4^n-1)=\frac{1048575}{64}\\ \\ \boxed{a_1=\frac{1048575}{64(4^n-1)}} \ \ \ \ (b)$

Das conclusões (a) e (b):

$\frac{1048575}{64(4^n-1)}=\frac{16384}{4^n}\\ \\ 1048575.4^n=1048576(4^n-1)\\ \\ 1048575.4^n=1048576.4^n-1048576\\ \\ \boxed{4^n=1048576}$

Agora utilizando propriedade dos logarítmos:

$4^n=1.048.576\\ \\ log(4^n)=log \ 1.048.576\\ \\ n.log4=log1.048.576\\ \\ n=\frac{log \ 1.048.576}{log \ 4}\\ \\ \boxed{n=10}$

Esta PG tem 10 termos.

Agora:

$a_{10}=a_1.q^9\\ \\ a_1.4^9=4096\\ \\ a_1=\frac{4096}{4^9}\\ \\ a_1=\frac{4096}{262144}\\ \\ \boxed{a_1=\frac{1}{64}}$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

A soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por:

$\sf S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}$

$\sf \dfrac{a_1\cdot(4^n-1)}{4-1}=\dfrac{1048575}{192}$

$\sf \dfrac{a_1\cdot(4^n-1)}{3}=\dfrac{1048575}{192}$

$\sf a_1\cdot(4^n-1)=\dfrac{1048575}{64}$

$\sf a_1=\dfrac{1048575}{64\cdot(4^n-1)}$

Utilizando a fórmula do termo geral:

$\sf a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

$\sf a_1\cdot4^{n-1}=4096$

$\sf a_1\cdot4^{n-1}\cdot4=4096\cdot4$

$\sf a_1\cdot4^n=16384$

Substituindo $\sf a_1$ por $\sf \dfrac{1048575}{64\cdot(4^n-1)}$

$\sf \dfrac{1048575}{64\cdot(4^n-1)}\cdot4^n=16384$

$\sf 1048575\cdot4^n=64\cdot16384\cdot(4^n-1)$

$\sf 1048575\cdot4^n=1048576\cdot4^{n}-1048576$

$\sf 1048576\cdot4^{n}-1048575\cdot4^{n}=1048576$

$\sf 4^{n}=1048576$

$\sf log_{4}~4^{n}=log_{4}~1048576$

$\sf log_{4}~4^{n}=log_{4}~4^{10}$

$\sf n\cdot log_{4}~4=10\cdot log_{4}~4$

$\sf n\cdot1=10\cdot1$

$\sf n=10$

Substituindo em $\sf a_1\cdot4^n=16384$:

$\sf a_1\cdot4^{10}=16384$

$\sf a_1\cdot4^{10}=4^7$

$\sf a_1=\dfrac{4^7}{4^{10}}$

$\sf a_1=4^{7-10}$

$\sf a_1=4^{-3}$

$\sf a_1=\dfrac{1}{64}$