Question

Represente o número complexo z = 2 + 2√3i na forma trigonométrica e calcule z3. Deixe a resposta na forma
algébrica.

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Temos que a forma trigonométrica de um número complexo é dada por:

$\Large\boxed{z = \rho( \cos \theta + i.\sin \theta)}$

"p" é o módulo do número complexo;

"theta" é o argumento do número complexo.

Módulo:

O módulo de um número complexo é dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados das partes reais e imaginárias.

$\large\boxed{ \rho = \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } }$

Temos que a parte real é: (2);

Temos que a parte imaginaria é (2√3).

Substituindo:

$\rho = \sqrt{(2) {}^{2} + (2 \sqrt{3}) {}^{2} } \\ \rho = \sqrt{4 + 4.3} \\ \rho = \sqrt{4 + 12} \\ \rho = \sqrt{16} \\ \boxed{\rho = 4}$

Argumento:

É calculado através das relações de seno e cosseno, portanto tem-se duas fórmulas:

$\begin{cases}\sin( \theta) = \frac{b}{ \rho} \\ \\ \cos( \theta) = \frac{a}{ \rho} \end{cases}$

Substituindo os dados e calculando:

$\sin(\theta) = \frac{2 \sqrt{3} }{4} = \purple{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } \\ \\ \cos( \theta) = \frac{2}{4} = \purple{ \frac{1}{2} }$

Agora pense comigo, qual é o ângulo que possui o valor de √3/2 para o seno e 1/2 para o cosseno, certamente é o ângulo de 60°, então temos que a forma trigonométrica é:

$z = \rho( \cos \theta + i. \sin \theta) \\ \\ \begin{cases}z = 4.( \cos60 {}^{ \circ} + i \sin60 {}^{\circ} ) \\ ou \\ z = 4.( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} ) \end{cases} \leftarrow resposta 1$

Agora vamos responder a segunda pergunta que a questão faz, que é z³. Para realizar esse cálculo vamos usar a primeira fórmula de Moivre, dada por:

$\Large\boxed{z {}^{n} = \rho {}^{n} ( \cos(n. \theta) + i \sin(n. \theta)) }$

n → representa o expoente, sabemos que o expoente que a questão quer é "3", então vamos substituir:

$z {}^{3} = (4) {}^{3} .( \cos(3.60^{\circ}) + i. \sin(3.60^{\circ})) \\ \\ \begin{cases}z {}^{3} = 64.( \cos180 {}^{ \circ} + i. \sin180 {}^{ \circ} ) \\ ou \\ z {}^{3} = 64.( \cos\pi + i. \sin\pi) \end{cases} \leftarrow resposta \: 2$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

Answer 2

Resposta:

U^ｪ^U U^ｪ^U U^ｪ^U

Explicação passo-a-passo:

=(4)

3

.(cos(3.60

∘

)+i.sin(3.60

∘

))

⎩

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎧

z

3

=64.(cos180

∘

+i.sin180

∘

)

ou

z

3

=64.(cosπ+i.sinπ)

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