Question

Questão 13
Uma elipse tem eixo maior medindo 8 e eixo menor 2 raiz de 7, como mostra a figura.

Sabendo que a equação da elipse com os focos sobre o eixo y é dada por x2 +y2=1, a equação reduzida e as coordenadas dos focos F1 e F2 dessa elipse são respectivamente:

Questão 13
Observe o esboço do gráfico da função do 2º grau
Considerando y=ax2+bx+c, é correto afirmar :

Answer 1

Resposta:

Alternativa C.

Explicação passo-a-passo:

Equaçao reduzida dessa elipse $\frac{x^{2} }{b^{2} } + \frac{y^{2} }{a^{2} } = 1$ pois o eixo maior esta no eixo y.

os valores de a e b sao facilmente obtidos pois sao os semieixos (metade dos eixos) dados.

eixo maior: 8 -> 2a = 8 -> a = 4

eixo menor: $2\sqrt{7}$ -> $2b =2 \sqrt{7}$ -> $b=\sqrt{7}$

Aplicando esses valores na equaçao reduzida, temos:

$\frac{x^{2} }{b^{2} } + \frac{y^{2} }{a^{2} } = 1$

$\frac{x^{2} }{(\sqrt{7} )^{2} } + \frac{y^{2} }{4^{2} } = 1$

$\frac{x^{2} }{7 } + \frac{y^{2} }{16 } = 1$

Para encontrar as coordenadas dos focos, precisamos encontrar o valor de c (usando Pitagoras)

$a^{2}=b^{2}+c^{2}$

$4^{2}=(\sqrt{7}) ^{2}+c^{2}$

$16=7+c^{2}$

$c^{2}=9$

$c_{1}=3$

$c_{2}=-3$

Dessa forma, os pontos focais sao dados por (0, -3) e (0,3).

Answer 2

Utilizando definições diferentes de geometria analítica para elipses e para parabolas, temos que:

• Questão 12: Focos (0,-3) e (0,3), letra C.
• Questão 13: duas raízes reais, e portanto Delta é positivo (Δ>0), e como a concavidade é para cima, possui ponto de mínimo, pois 'a' é positivo (a > 0), letra B.

Explicação passo-a-passo:

Questão 12:

Sabemso que a forma geral da equação da elipse com focos em y é dada por:

$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

Onde 'a' é o semi-eixo maior e 'b' é o semi-eixo menor. E quando digo "semi", quero dizer, metade do eixo, ou seja, '2a' é o tamanho do eixo maior e '2b' é o tamanho do eixo menor.

Com isso sabemos os tamanhos dos semi-eixos, pois já sabemos os tamanhos dos eixos, então basta dividir por 2:

2a = 8

a = 4

2b = 2√7

b = √7

E com isso sabemos até a equação da nossa elipse:

$\frac{x^2}{(\sqrt{7})^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$

$\frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{16}=1$

Mas o que realmente importa para o nosso caso agora é a relação dos semi-eixos com a semi-distância focal 'c', que é calculada por:

a² = b² + c²

Que podemos descobrir substituindo os valores que temos:

4² = (√7)² + c²

16 = 7 + c²

c² = 16 - 7

c² = 9

c = 3

Assim temos que a semi-distância focal é dada por 3, e com isso podemos descobrir os focos, pois focos de elipses no eixo y são dados pelas coordenadas:

F1 = ( 0 , - c )

F2 = ( 0 , c )

E como já sabemos o valor de 'c', sabemosos focos, que são:

F1 = ( 0 , - 3 )

F2 = ( 0 , 3 )

E assim temos que estes focos tem coordenadas (0,-3) e (0,3), letra C.

Questão 13:

Então temos que nos foi dada a equação da forma geral como:

y = a . x² + b . x + c

E temos algumas propriedades que podemos destacar sobre funções do segundo grau, com base nas constantes 'a' , 'b' e 'c':

• Concavidade: Se o valor de 'a' for positivo, a concavidade (abertura) da parabola formada pelo gráfico da função é para cima, se for negativo será para baixo.
• Pontos Extremos: Se um parabola tem concavidade para cima, então ela tem ponto mínimo ('a' positivo, a > 0) e se ela tem concavidade para baixo, tem ponto maximo ('a' negativo, a < 0).
• Intercepção do Eixo y: O ponto no eixo y, onde a parabola encosta quando a cruza é exatamente na altura equivalente ao valor de 'c'.
• Raízes: Estes são os nomes dos pontos em x, onde a parabola intercepta este mesmo eixo, são valores de x onde a equação tem valor 0.
• Delta: Temos um valor chamado Delta de Bhaskara calculado por $\Delta = b^2 - 4.a.c$, que determina a relação entre as raízes da forma: Se Delta for positivo, então tem duas raíze; Se Delta for igual a 0, então tem uma única raíz; Se Delta for negativo, então não tem nenhuma raíz real.

Com isso vemos pelo gráfico que esta função toca o eixo 'x' em dois pontos, ou seja, tem duas raízes reais, e portanto Delta é positivo (Δ>0), e como a concavidade é para cima, possui ponto de mínimo, pois 'a' é positivo (a > 0), letra B.

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