Question

Considere as funções reais f(x) = 2x + k e g(x) = 5x - 1. O valor de k para que fog(x) = gof(x), qualquer que seja x, é igual a:


- 1/2

1/2

0

-1/4

1/4

Answer 1

Começamos determinando as compostas fog(x) e gof(x).

--> Para fog(x), substituiremos "x" na f(x) pela função g(x)

$fog(x)~=~f(g(x))\\\\\\fog(x)~=~2\cdot(5x-1)~+~k\\\\\\\boxed{fog(x)~=~10x~-~2~+~k}$

--> Para gof(x), substituiremos "x" na g(x) pela função f(x)

$gof(x)~=~g(f(x))\\\\\\gof(x)~=~5\cdot(2x+k)~-~1\\\\\\\boxed{gof(x)~=~10x~+~5k~-~1}$

Como é dito que as duas compostas são iguais para todo "k", vamos então igualar as duas funções:

$fog(x)~=~gof(x)\\\\\\10x-2+k~=~10x+5k-1\\\\\\10x+k-10x-5k~=~-1+2\\\\\\-4k~=~1\\\\\\\boxed{k~=\,-\dfrac{1}{4}}$