Question

Dada a circunferência α: (x + 8)2 + (y + 4)2 = 5, determine as coordenadas do ponto
pertencente a α mais próximo da origem.

Answer 1

$\delta: {(x + 8)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 5$

Se a equação da circunferência é $\mathsf{(x - x_c) ^ 2 + (y - y_c) ^ 2 = R^2}$, podemos descobrir seu centro C, que é o ponto $\mathsf{(x_c, y_c)}$. Note que nós aplicaremos, aqui, a regra dos sinais.

O centro da circunferência é o ponto $\mathsf{(-8, -4)}$. Veja na imagem em anexo.

   

Para encontrar a equação de uma reta r que passe por esse ponto e também pela origem (ponto (0,0)), vamos usar um sistema de equações.

$\left \{ {{-8m + n = -4} \atop {0m + n = 0}} \right.$

Podemos concluir que n vale zero. Assim, substituindo na outra equação:

$-8m + 0 = -4$

Somar a zero não muda nada:

$-8m = -4$

Passando o -8 para o outro lado, dividindo:

$m = \frac{-4}{-8}$

Simplificando:

$\boxed{\mathsf{m = \frac{1}{2}}}$

A reta, portanto, tem a seguinte equação:

$\boxed{\mathsf{r: y = \frac{x}{2}}}$

   

Para encontrar os pontos nos quais essa reta intercepta a circunferência, vamos substituir o valor de y na equação da circunferência:

${(x + 8)}^{2} + {(\frac{x}{2} + 4)}^{2} = 5$

Desenvolvendo os quadrados:

$x^2 + 16x + 64 + \frac{x ^2}{4} + 4x + 16 - 5 = 0$

Somando tudo:

$\frac{5x ^2}{4} + 20x + 75 = 0$

Multiplicando a equação inteira por 4:

$5x^2 + 80x + 300 = 0$

Dividindo a equação inteira por 5:

$x^2 + 16x + 60 = 0$

A fórmula do delta é a seguinte:

$\boxed{\mathsf{\Delta = b^2 - 4ac}}$

Substituindo:

$\Delta = 16^2 - 4 \times 1 \times 60$

Elevando ao quadrado e multiplicando:

$\Delta = 256 - 240$

Subtraindo:

$\boxed{\mathsf{\Delta = 16}}$

Para achar os dois valores possíveis de x (e depois os dois pontos que interceptam a circunferência), temos a fórmula:

$\boxed{\mathsf{x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}}}$

 

PRIMEIRA SOLUÇÃO

Usando a adição (a raiz de 16 é 4, e a vale 1):

$x_1 = \frac{-16 + 4}{2}$

Calculando:

$\boxed{\mathsf{x_1 = -6}}$

SEGUNDA SOLUÇÃO

Usando a subtração:

$x_2 = \frac{-16 - 4}{2}$

Calculando:

$\boxed{\mathsf{x_2 = -10}}$

   

Agora, vamos achar os pontos. Lembrando que $\mathsf{y = \frac{x}{2}}$:

Para x = -6, y = -3 → primeiro ponto: $\mathsf{(-6, -3)}$

Para x = -10, y = -5 → segundo ponto: $\mathsf{(-10, -5)}$

Entre esses dois pontos, o que está mais próximo da origem (0,0) é o ponto (-6, -3).

 

 

 

 

:-)   ENA - domingo, 17/05/2020.