Question

a forma algébrica do número complexo z= 2(1+i)²/(1-i)³ onde i é a unidade imaginária, é:
a) z=1+i
b) z=1-i
c) z=i-1
d) z=-1-i
e) z=0

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Vamos começar resolver esses produtos notáveis e devemos lembrar que i² = -1.

$(1 + i).(1 + i) = \\ = 1.1 + 1.i + 1.i + i.i \\ = 1 + i + i + i {}^{2} \\ = 1 + 2i - 1 \\ = \red{\boxed{2i}} \\ \\ (1 - i) {}^{3} = (1 - i) {}^{2} .(1 - i) \\ (1 - i).(1 - i).(1 - i) \\ (1.1 - 1.i - 1.i - i.( - i)) .(1 - i)\\ (1 - i - i + i {}^{2} ).(1 - i) \\ (1 - 2i - 1).(1 - i) \\ ( - 2i).(1 - i) \\ - 2i.1 - 2i.( - i) \\ - 2i + 2i {}^{2} \\ - 2i + 2.( -1) \\ \red{\boxed{- 2i - 2}}$

Sabendo da expansão dessas expressões, vamos substituir os valores nos seus respectivos locais.

$z = \frac{2.(2i)}{( - 2i - 2)}$

Podemos colocar em evidência o número "2".

$z = \frac{2.(2i)}{2.( - i - 1)}$

Corta o "2" do numerador e o "2" do denominador.

$z = \frac{2i}{ - i - 1}$

Note que resultou em uma divisão de números complexos, nesse tipo de divisão devemos multiplicar o numerados e o denominador pelo conjugado do denominador, ou seja, o sinal oposto apenas da parte imaginaria.

$\frac{2i}{ - i - 1} . \frac{i - 1}{i - 1} = \frac{2i.(i - 1)}{ - i.i - i.( - 1) - 1.i - 1.( - 1)} = \\ \\ = \frac{2i {}^{2} - 2i }{ - i {}^{2} + i - i + 1 } \\ \\ = \frac{2.( - 1) - 2i}{ - ( - 1) + 1} \\ \\ = \frac{ - 2 - 2i}{1 + 1} \\ \\ = \frac{ - 2 - 2i}{2} \\ \\ = \frac{2.( - 1 - i)}{2} \\ \\ = \red{ \boxed{ - 1 - i}}$

Portanto temos que a forma algebrica é:

$\red{\huge \boxed{z = - 1 - i}}$

Letra d)

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️