O dirigível da figura é sustentado pelos cabos (AC, AD, BC,BD e CH), fixados ao chão em A, B e H. Esses cabos estabilizam o dirigível a 30 metros de altura. O valor mínimo, em metros, da quantidade de cabo usada no processo - assumindo que D é o baricentro do triângulo equilátero ABC de lado medindo 20 \sqrt{3} m - é

a) 20 (3 + \sqrt{3} )

b) 10 (6 + 3 \sqrt{3} )

c) 10 (7 + 4 \sqrt{3} )

d) 40 (2 + \sqrt{3} )

e) 10 (7 + 6 \sqrt{3} )

Anexos:

Respostas

respondido por: luanafbh2

Para responder vamos relembrar alguns conceitos que precisaremos usar nessa questão:

O que é a mediana de um triângulo?

A mediana é um segmento de reta que liga o vértice de um triângulo ao ponto médio do lado oposto a esse vértice.

O que é o baricentro de um triângulo?

O baricentro é o ponto de encontro das medianas de um triângulo, ele está situado a 2/3 do comprimento do vértice de distância da mediana, veja a primeira imagem.

O que é um triângulo equilátero?

É um triângulo que possui todos os lados iguais e todos os ângulos iguais. A medida de cada um de seus ângulos internos é 60 graus. Em um triângulo equilátero é importante lembrar que a mediana, bissetriz e altura são o mesmo segmento, ou seja, eles são iguais, possuem mesma medida.

Queremos calcular a distância dos segmentos AC, AD, BC,BD e CH. Como foi falado no exercício que o triângulo ABC é equilátero e com lado medindo 20√3, temos que o tamanho dos cabos:

AC = BC = 20√3 cm

Por outro lado, CH é altura do triângulo equilátero e assim podemos determinar sua medida por:

$h = \dfrac{l\sqrt3}{2}$

Na fórmula h é altura e l a medida do lado.

$\overline{CH} = \dfrac{20\sqrt3\cdot \sqrt3}{2} = 10 \cdot 3 = 30$

A medida de CH = 30 cm

Sabendo que D é baricentro de ABC, temos que:

$\overline{DH} = \dfrac{\overline{CH}}{3}\\[2ex]DH = \dfrac{30}{3} = 10$

Para determinar AD e DB, observe os triângulos ADH e BDH retângulos. Eles são constituídos por um lado em comum medindo 10 cm e outro medindo metade de AB, já que CH é mediana. Ou seja, eles são congruentes pelo caso LAL.

Então podemos encontrar AD = DB fazendo Teorema de Pitágoras no triângulo rosa na imagem.

x² = 10² + (10√3)²

x² = 100 + 100.3

x² = 400

x = √400

x = 20

Então AD = DB = 20

Assim a quantidade de cabos é:

AC + AD + BC + BD + CH

20√3 + 20 + 20√3 + 20 + 30

40√3 + 70

10 (4√3 + 7)