Question

Resolva à questão de matemática ​

Answer 1

Resposta:

1

Explicação passo-a-passo:

Começa reescrevendo a equação:

$9^{x+1} - 4\cdot3^x - 69 = 0\\9\cdot9^x- 4\cdot3^x - 69 = 0\\9\cdot3^{2x}- 4\cdot3^x - 69 = 0$,

Agora faça a mudança de variável $y = 3^x \Rightarrow y^2 = 3^{2x}$

Logo, substituindo na equação acima, temos:

$9y^2-4y-69 = 0$.

Agora é só usar a fórmula de Bhaskara para achar as raízes:

$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2-4\cdot9\cdot(-69) = 2500$,

Agora as raízes:

$y = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4)\pm\sqrt{2500}}{2\cdot9} = \frac{4\pm50}{18} = \left \{ {{y_1=3} \atop {y_2=-\frac{23}{9}}} \right.$.

Agora temos que voltar para a variável original:

$3^x = y$

Primeira solução: $3^{x_1} = y_1 = 3 \Rightarrow x_1 = 1$.

Segunda solução:

A segunda solução só existe no conjunto dos números complexos pois é impossível achar um número Real tal que a seguinte igualdade seja verdadeira: $3^{x_2} = y_2 = -\frac{23}{9} \Rightarrow x_2 \in \text{Complexo}$.

Portanto, a resposta correta é 1.