a distância entre dois pontos A e B é 5 sabendo que a( 3K, 1) e B (2,4) determine a abscissa do ponto a

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respondido por: marcos4829

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Temos que a distância entre dois pontos é calculada através da fórmula:

$\boxed{d_{(A,B)} = \sqrt{(x_b - x_a) {}^{2} + (y _b - y_a) {}^{2} } }$

Onde xa, ya, xb e yb são os valores das abscissas e ordenadas dos dois pontos que a questão fornece.

Sabendo disso, vamos identificá-los:

$\begin{cases}A( 3K, 1) \rightarrow xa = 3k \: \: \: ya = 1 \\ B (2,4) \rightarrow xb = 2 \: \: \: \: yb = 4 \end{cases}$

Agora vamos substituir os dados nos seus respectivos locais na fórmula.

$d_{(A,B)}= \sqrt{(2 - 3k) {}^{2} + (4- 1) {}^{2} } \\ d_{(A,B)} = \sqrt{(2 - 3k) {}^{2} + (3) {}^{2} } \\ d_{(A,B)} = \sqrt{(2 - 3k) {}^{2} + 9}$

Vamos resolver aquele produto notável:

$\boxed{\begin{cases}(2 - 3k) {}^{2} \rightarrow (2 - 3k).(2 - 3k) \\ 2.2 - 3k.2 - 3k.2 + 3k.3k \\ 4 - 6k - 6k + 9k {}^{2} \\ \bigstar9k {}^{2} - 1 2k + 4 \bigstar \end{cases}}$

Agora vamos substituir esses dados na fórmula:

$d_{(A,B)} = \sqrt{(9k {}^{2} - 12k + 4 + 9)} \\ d_{(A,B)} = \sqrt{9k {}^{2} - 12k + 13}$

A questão fala que a distância entre esses dois pontos é igual a 5, então no local de "d" vamos colocar o número "5".

$5 = \sqrt{9k {}^{2} - 12k + 13 }$

Note que temos uma equação irracional, onde devemos elevar ambos os membros ao quadrado para que a raiz possa ser cancelada.

$(5) {}^{2} =( \sqrt[ \cancel2]{9k {}^{2} - 12k + 13 } ) {}^{ \cancel2} \\ 25 = 9k {}^{2} - 12k + 13 \\ 9k {}^{2} - 12k + 13 - 25 = 0 \\ \boxed{ 9k {}^{2} - 12k - 12 = 0}$

Podemos resolver através de Delta e Bháskara

I) Coeficientes:

$\begin{cases}a = 9 \\ b = - 12 \\ c = - 12\end{cases}$

II) Bháskara:

$\boxed{k = \frac{ - b \pm \sqrt{b {}^{2} - 4.a.c} }{2.a}} \\ \\ k = \frac{ - ( - 12 \pm \sqrt{( - 12) {}^{2} - 4.9.( - 12)} }{2.9} \\ \\ k = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 432} }{18} \\ \\ k = \frac{12 \pm \sqrt{576} }{18} \\ \\ k= \frac{12 \pm24}{18} \\ \\ k_1 = \frac{ 12 + 24}{18} \\ k_1 = \frac{36}{18} \\ \boxed{k_1 = 2} \\ \\ k_2 = \frac{12 - 24}{18} \\ k_2 = \frac{ - 12}{18} \\ \boxed{k_2 = - \frac{2}{3} }$