Question

Uma sociedade é composta de 7 dentistas, 5

escritores e 8 médicos. Quantas comissões de 7 membros

podem ser formadas de tal modo que se tenha 2 dentistas,

4 escritores e 1 médico.​

Answer 1

Como não há uma ordem ou hierarquia dentro das comissões, podemos utilizar combinações neste exercício, ou seja, só vamos estar interessados em quem está na comissão.

Dessa forma, teremos C₇,₂ (combinação de 7 elementos tomados 2 a 2) formas de escolher os dentistas, C₅,₄ formas de escolher os escritores e C₈,₁ formas de escolher os médicos.

O total de comissões será dado pelo produto:

$\boxed{Total~de~Comissoes~=~C_{7,2}\cdot C_{5,4}\cdot C_{8,1}}$

Vamos então desenvolver os cálculos.

$Total~de~Comissoes~=~\dfrac{7!}{2!\cdot(7-2)!}\cdot \dfrac{5!}{4!\cdot(5-4)!}\cdot \dfrac{8!}{1!\cdot(8-1)!}\\\\\\Total~de~Comissoes~=~\dfrac{7!}{2!\cdot5!}~\cdot~\dfrac{5!}{4!\cdot1!}~\cdot~\dfrac{8!}{1!\cdot7!}\\\\\\Total~de~Comissoes~=~\dfrac{7\cdot6\cdot5!}{2\cdot1\cdot5!}~\cdot ~\dfrac{5\cdot4!}{4!\cdot1}~\cdot~ \dfrac{8\cdot7!}{1\cdot7!}$

$Total~de~Comissoes~=~\dfrac{7\cdot6\cdot5!\!\!\!\backslash}{2\cdot1\cdot5!\!\!\!\backslash}~\cdot ~\dfrac{5\cdot4!\!\!\!\backslash}{4!\!\!\!\backslash\cdot1}~\cdot~ \dfrac{8\cdot7!\!\!\!\backslash}{1\cdot7!\!\!\!\backslash}\\\\\\Total~de~Comissoes~=~\dfrac{7\cdot6}{2\cdot1}~\cdot ~\dfrac{5}{1}~\cdot~ \dfrac{8}{1}\\\\\\Total~de~Comissoes~=~\dfrac{42}{2}~\cdot~5~\cdot~8\\\\\\Total~de~Comissoes~=~21~\cdot~40\\\\\\\boxed{Total~de~Comissoes~=~840}$

Resposta:  840 comissões