Question

determine o primeiro termo a1 da PA onde a3= 11 e a12 = 47

Answer 1

Resposta:

a1 = 3 >>>>>

Explicação passo-a-passo:

an = a1 + ( n - 1 )r

a3 =  a1 + 2r = 11

a12 = a1 + 11r  =47

formando  uma equação    com as  equações  acima

  a1 + 2r = 11   ( vezes - 1 )

  a1 + 11r = 47

-------------------------------

- a1   - 2r    = - 11

 a1 +  11r    = +47

----------------------------------

//       + 9r   =  + 36      sinais   diferentes  diminui   sinal do maior

9r = 36

r = 36/9 = 4 >>>>>

substiruindo  r por  4 na  equação 1 acima

a1 + 2 (  4 )  = 11

a1 + 8 = 11

a1 = 11 -8

a1 = 3 >>>>>

Answer 2

Vamos resolver o exercício por duas formas diferentes.

--> 1º Método: Relação do termo geral da PA + Sistema de Equações

Vamos começar reescrevendo o a₃ e a₁₂ utilizando a relação do termo geral da PA.

$a_3~=~a_1+(3-1)\cdot r\\\\11~=~a_1+2r\\\\\boxed{a_1+2r~=~11}\\\\\\a_{12}~=~a_1+(12-1)\cdot r\\\\47~=~a_1+11r\\\\\boxed{a_1+11r~=~47}$

Temos um sistema de duas equações e duas incógnitas.

Resolvendo o sistema pelo método da substituição:

$\left\{\begin{array}{ccc}a_1+2r&=&11\\\\a_1+11r&=&47\end{array}\right\\\\\\Isolando~r~na~1^a~equacao~e~substituindo~na~2^a\\\\\\a_1+2r~=~11\\\\2r~=~11-a_1\\\\\boxed{r~=~\frac{11-a_1}{2}}\\\\\\a_1~+~11\cdot\left(\frac{11-a_1}{2}\right)~=~47\\\\a_1~+~\frac{121-11a_1}{2}~=~47\\\\2a_1+121-11a_1~=~2\cdot47\\\\-9a_1~=~94-121\\\\a_1~=~\frac{-27}{-9}\\\\\boxed{a_1~=~3}$

--> 2° Método: Relação do termo geral da PA

$Vamos~comecar~determinando~o~valor~da~razao~pela~relacao~do\\termo~geral~da~PA~modificada~para~dois~termos~quaisquer\\\\\\a_n~=~a_m+(n-m)\cdot r\\\\a_{12}~=~a_3+(12-3)\cdot r\\\\47~=~11+9r\\\\9r~=~47-11\\\\r~=~\frac{36}{9}\\\\\boxed{r~=~4}\\\\\\Utilizando~novamente~a~relacao~do~termo~geral\\\\\\a_3~=~a_1+(3-1)\cdot r\\\\11~=~a_1+2\cdot4\\\\a_1~=~11-8\\\\\boxed{a_1~=~3}$

Resposta:  a1 = 3