Question

1- Qual a razão da PG (x, x+2, x+16)?

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

A PG de três termos possui uma propriedade que fala:

"O quadrado do termo do meio é igual ao produto dos extremos".

Algebricamente fica:

$\boxed{b {}^{2} = a.c }$

Vamos identificar o que é a, b e c em nossa PG.

$PG (a,b,c) \\ PG (x, x+2, x+16) \\ \begin{cases} a = x \\ b = x + 2 \\ c = x + 16\end{cases}$

Substituindo na relação:

$b {}^{2} = a.c \\ \\ (x + 2) {}^{2} = x.(x + 16) \\ (x + 2).(x + 2) = x.x + 16.x \\ x.x + 2.x + 2.x + 2.2 = x {}^{2} + 16x \\ x {}^{2} + 4x + 4 = x {}^{2} + 16x \\ \cancel{x {}^{2} - x {}^{2}} + 4x - 16x= - 4 \\ - 12x = - 4 \\ x = \frac{ - 4}{ - 12} \\ \boxed{ x = \frac{1}{3} }$

Sabendo o valor de "x" vamos substituir nos elementos a, b e c para saber o seu valor numérico de fato.

$PG (x, x+2, x+16) \\ \\ PG ( \frac{1}{3} , \frac{1}{3} +2, \frac{1}{3} +16) \\ \\ PG ( \frac{1}{3} , \frac{1 + 6}{3} , \frac{1 + 48}{3} ) \\ \\ PG ( \frac{1}{3} , \frac{7}{3} , \frac{49}{3} )$

Temos então a PG. A questão quer saber a razão da mesma. Sabemos que a razão de uma PG pode ser calculada através da divisão de um termo qualquer pelo seu antecessor imediato.

Então vamos fazer isso.

$q = \frac{a2}{a1} \\ \\ q = \frac{ \frac{7}{3} }{ \frac{1}{3} } \\ \\ q = \frac{7}{3} . \frac{3}{1} \\ \\ q = \frac{21}{3} \\ \\ \boxed{q = 7}$

Temos então que a razão dessa PG é 7.

Resposta: q = 7.

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️